2014创新设计(苏教版)第八章第6讲立体几何中的向量方法(ⅰ)-证明平行与垂直.ppt

　[解答示范]　以C为坐标原点，射线CD为x正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系C－xyz. 设D(1,0,0)，则A(2,2,0)、B(0,2,0)． 又设S(x，y，z)，则x0，y0，z0. [点评] 用向量知识证明立体几何问题有两种基本思路：一种是用向量表示几何量，利用向量的运算进行判断；另一种是用向量的坐标表示几何量，共分三步：(1)建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量(或坐标)表示问题中所涉及的点、线、面，把立体几何问题转化为向量问题；(2)通过向量运算，研究点、线、面之间的位置关系；(3)根据运算结果的几何意义来解释相关问题． 1．(2012·辽宁卷)如图，直三棱柱ABC－A′B′C′，∠BAC＝90°，AB＝AC＝λAA′，点M，N分别为A′B和B′C′的中点． (1)证明：MN∥平面A′ACC′； (2)若二面角A′－MN－C为直二面角，求λ的值． 高考经典题组训练 解　(1)法一　连结AB′，AC′，由已知∠BAC＝90°，AB＝AC，三棱柱ABC－A′B′C′为直三棱柱，所以M为AB′中点． 又因为N为B′C′的中点，所以MN∥AC′. 又MN?平面A′ACC′，AC′?平面A′ACC′， 因此MN∥平面A′ACC′. 法二　取A′B′中点P，连结MP，NP， 而M，N分别为AB′与B′C′的中点， 所以MP∥AA′，PN∥A′C′，所以MP∥平面A′ACC′， PN∥平面A′ACC′.又MP∩NP＝P， 因此平面MPN∥平面A′ACC′.而MN?平面MPN，因此MN∥平面A′ACC′. (2)以A为坐标原点，分别以直线AB，AC，AA′为x轴，y轴，z轴建立空间 直角坐标系O－xyz，如图所示． 设AA′＝1，则AB＝AC＝λ，于是A(0,0,0)，B(λ，0,0)，C(0，λ，0)，A′(0,0,1)，B′(λ，0,1)，C′(0，λ，1)，　 2．(2012·广东卷)如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，点E在线段PC上，PC⊥平面BDE. (1)证明：BD⊥平面PAC； (2)若PA＝1，AD＝2，求二面角B－PC－A的正切值． (1)证明　∵PA⊥平面ABCD，BD?平面ABCD， ∴PA⊥BD.同理由PC⊥平面BDE可证得PC⊥BD. 又PA∩PC＝P，∴BD⊥平面PAC. (2)解　法一　如图(1)，设BD与AC交于点O，连接OE. ∵PC⊥平面BDE，BE、OE?平面BDE， ∴PC⊥BE，PC⊥OE. ∴∠BEO即为二面角B－PC－A的平面角． 由(1)知BD⊥平面PAC.又OE、AC?平面PAC， ∴BD⊥OE，BD⊥AC.故矩形ABCD为正方形， 图(1) 法二　如图(2)，分别以射线AB，AD，AP为x轴，y轴，z轴的正半轴建立空间直角坐标系． 由(1)知BD⊥平面PAC， 又AC?平面PAC， ∴BD⊥AC. 故矩形ABCD为正方形， ∴AB＝BC＝CD＝AD＝2. ∴A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(2,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,1)． 图(2) 3. (2011·北京卷)如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，AB＝2，∠BAD＝60°. (1)求证：BD⊥平面PAC； (2)若PA＝AB，求PB与AC所成角的余弦值； (3)当平面PBC与平面PDC垂直时，求PA的长． 解　(1)证明：因为四边形ABCD是菱形， 所以AC⊥BD. 又因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥BD. 因为AC∩PA＝A，所以BD⊥平面PAC. 抓住3个考点 突破3个考向 揭秘3年高考 考点梳理 1．直线的方向向量与平面的法向量 第6讲　立体几何中的向量方法(Ⅰ) ——证明平行与垂直 非零向量 (1)设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则l1∥l2(或l1与l2重合)?___________. (2)设直线l的方向向量为v，与平面α共面的两个不共线向量v1和v2，则l∥α或l?α?存在两个实数x，y，使v＝xv1＋yv2. (3)设直线l的方向向量为v，平面α的法向量为u，则l∥α或l?α?___________. (4)设平面α和β的法向量分别为u1，u2，则α∥β? ___________. 2．用向量证明空间中的平行关系 v1∥v2 v⊥u u1∥u2 (1)设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则l1⊥l2?v1⊥v2?_____________. (2)设直线l的方向向量为v，平面α的法向量为u，则l⊥α?__________. (3)设平面α和β的法向量分别为u1和u2，则α⊥β?________________________. 3