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2014随机信号剖析6
随机信号分析
第6讲
哈尔滨工程大学信息与通信工程学院
叶方
1.7 随机变量的特征函数
随机现象
随机变量
分布函数
数字特征
各 阶 矩
问题:
1、随着阶数的增加,如何简化矩计算中用分布函数求积分复杂的过程。
2、对于多个独立的随机变量,求其和的分布复杂,如何简化。
1.7 随机变量的特征函数
一、特征函数定义
(是X的函数的数学期望)
二、特征函数与分布函数关系
看作傅氏变换对,一一对应
(注意正、负号与傅氏变换相反)
——逆转公式
1.7 随机变量的特征函数
三、特征函数性质
1.7 随机变量的特征函数
四、特征函数与矩函数关系
1.7 随机变量的特征函数
五、多维随机变量联合特征函数
1、两个随机变量X 和Y 的联合特征函数
1.7 随机变量的特征函数
五、多维随机变量联合特征函数
2、当X 、Y 相互独立时
注意区别:
——一维特征函数
——二维联合特征函数
3、边沿分布
1.7 随机变量的特征函数
五、多维随机变量联合特征函数
3、N个随机变量的联合特征函数
注意区别:
——一维特征函数
——N 维联合特征函数
1.8 高斯随机变量
一、高斯随机变量
一维概率密度函数
1.8 高斯随机变量
二、性质
1. 正态随机变量经线性变换后仍服从正态分布。
1.8 高斯随机变量
二、性质
1.8 高斯随机变量
二、性质
5. 平面直角坐标上构成一点的两个相互独立的标准正态随机变量,变换为极坐标后,模服从瑞利分布,相位服从均匀分布,且模和相位相互独立。
1.8 高斯随机变量
二、性质
①两个相互独立的正态随机变量,经过坐标旋转,可变成
两个彼此相关的正态随机变量。
② 两个彼此相关的正态随机变量,借助坐标旋转某一角度,
可变成两个相互独立的正态随机变量。
1.9 极限定理与收敛
一、切比雪夫不等式
数学期望
随机变量
任意正数
方差
意义:给出了随机变量X 分布未知的情况下,任意随机变量与其
数学期望的偏差落在某一区域以外的概率。
任何随机变量与其数学期望的偏差落在其3倍标准差以外的概率,不会超过 1/9。
1.9 极限定理与收敛
二、中心极限定理
说明:
① 一般情况下,不同分布律的随机变量之和趋向高斯分布的速度是不同的。
② 在工程上,如果不是某个或某些变量对和的贡献很大,7~10 个变量之
和的分布可认为服从正态分布。
1.9 极限定理与收敛
三、收敛
随机变量是随机试验的结果,当随机试验样本空间的所有元素对应的一族序列都收敛,称随 机变量序列处处收敛
2. 随机变量的处处收敛
1.9 极限定理与收敛
三、收敛
2. 常用意义上的弱收敛
① 准处处收敛 (almost-everywhere, a.e.收敛)
表示方法
1.9 极限定理与收敛
三、收敛
2. 常用意义上的弱收敛
② 均方收敛 (mean-square, m.s.收敛)
表示方法
1.9 极限定理与收敛
三、收敛
2. 常用意义上的弱收敛
③ 依概率收敛 (probability, p收敛)
表示方法
1.9 极限定理与收敛
三、收敛
2. 常用意义上的弱收敛
④ 分布收敛 (distribution, d收敛)
表示方法
1.9 极限定理与收敛
三、收敛
2. 常用意义上的弱收敛
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