2016年高三数学(理)创新设计资料包8—7.ppt

设平面AEF的法向量为n1＝(x1，y1，z1)， 规律方法　求二面角最常用的方法就是分别求出二面角的两个面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角． 【训练3】 (2014·辽宁卷)如图，△ABC和 △BCD所在平面互相垂直，且 AB＝BC＝BD＝2，∠ABC＝∠DBC ＝120°，E，F分别为AC，DC的中 点． (1)求证：EF⊥BC； (2)求二面角E－BF－C的正弦值． [思想方法] 1．利用空间向量求空间角，避免了寻找平面角和垂线段等诸多麻烦，使空间点、线、面的位置关系的判定和计算程序化、简单化．主要是建系、设点、计算向量的坐标、利用数量积的夹角公式计算． 2．合理建立空间直角坐标系 (1)使用空间向量解决立体几何问题的关键环节之一就是建立空间直角坐标系，建系方法的不同可能导致解题的简繁程度不同． (2)一般来说，如果已知的空间几何体中含有两两垂直且交于一点的三条直线时，就以这三条直线为坐标轴建立空间直角坐标系；如果不存在这样的三条直线，则应尽可能找两条垂直相交的直线，以其为两条坐标轴建立空间直角坐标系，即坐标系建立时以其中的垂直相交直线为基本出发点． (3)建系的基本思想是寻找其中的线线垂直关系，在没有现成的垂直关系时要通过其他已知条件得到垂直关系，在此基础上选择一个合理的位置建立空间直角坐标系． [易错防范] 1．异面直线所成的角与其方向向量的夹角：当异面直线的方向向量的夹角为锐角或直角时，就是该异面直线的夹角；否则向量夹角的补角是异面直线所成的角． 2．二面角与法向量的夹角：利用平面的法向量求二面角的大小时，当求出两半平面α，β的法向量n1，n2时，要根据向量坐标在图形中观察法向量的方向，从而确定二面角与向量n1，n2的夹角是相等，还是互补. 基础诊断 考点突破 课堂总结 必威体育精装版考纲　1.能用向量方法解决直线与直线，直线与平面， 平面与平面的夹角的计算问题；2.了解向量方法在研究立体 几何问题中的应用． 第7讲　立体几何中的向量方法（二）——求空间角 1．空间向量与空间角的关系 (1)设异面直线l1，l2的方向向量分别为m1，m2，则l1与l2所成的角θ满足cos θ＝___________________＝ ____________． (2)设直线l的方向向量和平面α的法向量分别为m，n， 则直线l与平面α所成角θ满足sin θ＝______________＝________． 知 识 梳 理 |cos〈m1，m2〉| |cos〈m，n〉| (3)求二面角的大小 (ⅰ)如图①，AB，CD是二面角α－l－β的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小θ＝__________． (ⅱ)如图②③，n1，n2 分别是二面角α－l－β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ满足|cos θ|＝______________，二面角的平面角大小是向量n1与n2的夹角(或其补角)． |cos〈n1，n2〉| 2．点面距的求法 如图，设AB为平面α的一条斜线段， n为平面α的法向量，则B到平面α的 距离d＝_________． 1．判断正误(请在括号中打“√”或“×”)　 精彩PPT展示 (1)两直线的方向向量所成的角就是两条直线所成的角． ( ) (2)直线的方向向量和平面的法向量所成的角就是直线与平面所成的角． ( ) (3)两个平面的法向量所成的角是这两个平面所成的角． ( ) 诊 断 自 测 √ × × × A．30° B．60° C．120° D．150° 答案　A 3．设正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，则点D1到平面A1BD的距离是 (　　) 解析　如图建立坐标系．则D1(0， 0，2)，A1(2，0，2)，B(2，2，0)， 答案　D 4．(2015·郑州模拟)在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，BC＝AA1＝1，则D1C1与平面A1BC1所成角的正弦值为__________． 解析　以D为原点，DA为x轴，DC为 y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标 系， 设n＝(x，y，z)为平面A1BC1的法向 量． 答案　60 ° 考点一　求异面直线所成的角 (1)△PCD的面积． (2)异面直线BC与AE所成的角的大小． 解　(1)因为PA⊥底面ABCD，所以PA⊥CD. 又AD⊥CD，所以CD⊥平面PAD，从而C