2维离散型随机变量.ppt

第三章 多维随机变量及其概率分布 二维随机变量 边缘分布 随机变量的独立性 二维随机变量的函数的分布 在实际问题中, 试验结果有时需要 用两个或两个以上的 随机变量来描述. 例如 用温度和风力等来描述天气情况. 需要考虑多维 随机变量及其取值规律 因此为研究这些随机变量之间的联系, 在打靶时,命中点的位置要由两个坐标来确定. 理论背景 定义 设?为随机试验的样本空间， ( X , Y )为二维随机变量或二维随机向量 讨论： 二维随机变量作为一个整体的联合概率特性 其中每一个随机变量的概率特性与整体联合 的概率特性之间的关系（边缘分布） §3.1 则称 一维随机变量及其分布 二维随机变量及其分布 由于从二维推广到多维一般无实质性的 困难，我们重点讨论二维随机变量 . 本章内容是第二章内容的推广 定义 设(X,Y)是二维随机变量，对于任意 实数 ，二元实值函数 F(x,y)=P({X?x}∩{Y?y})=P(X?x,Y?y) 称为二维随机变量(X,Y)的分布函数，或称X与Y的联合分布函数。 即F(x,y)为事件{X?x}与{Y?y}同时发生的概率。 2、二维随机变量的联合分布函数 联合分布函数的几何意义 若把二维随机变量(X,Y)看成平面上随机 点的坐标，则分布函数在 处的函数值 F (x, y) 表示 (X , Y ) 的取值落入图所示 无界矩形区域的概率. (x, y) x y 联合分布函数的性质 x y (x, y) x y （1） F性质 x y x y 固定 x , 对任意的 y1 y2 , 固定 y , 对任意的 x1 x2 , F (x0 , y0) = F (x0+ , y0 ) F (x0 , y0) = F (x0 , y0 + ) 对每个变量单调不减 （2） 对每个变量右连续 （3） F (x, y1) ? F (x, y2) F (x1,y) ? F (x2, y) F (b,d) – F (b,c) – F (a,d) + F (a,c) ? 0 事实上 对于任意 a b , c d （4） – F (b,c) – F (a,d) + F (a,c) F (b,d) a b c d 边 缘 分 布 及随机变量的独立性 讨论： 每一个随机变量的概率特性与整体联合的概率特性之间的关系 (一) 边缘分布函数 二维随机向量(X,Y)作为一个整体,具有 联合分布函数F(x,y). 其分量X和Y都是一维随机变量,也有自己的 分布函数,将其分别记为FX(x),FY(y).分别称为X和Y的边缘分布函数. 问题一：已知联合分布函数，如何求出边缘分布函数？ 求法 随机变量的独立性是概率论中的一个重要概念 定义:若对任意的x,y,有 则称X,Y相互独立 . 两随机变量独立的描述性定义是： 它们取值互不影响. 用分布函数表示,即 设 X,Y是两个随机变量，若对任意的x,y,有 则称X,Y相互独立 . 它表明，判别两个随机变量是否相互独立， 只要验证它们的联合分布函数是否等于 两个边缘分布函数的乘积 . 二维离散型随机向量 如果二维随机变量(X,Y)所有可能取的值是有限对或可列无限多对. 则称(X,Y)是二维离散型随机变量. 二维随机变量（X,Y） 联合分布 离散型 i, j =1,2, … X和Y 的联合概率分布 k=1,2, … 离散型 一维随机变量X k=1,2, … X的概率分布 （1） 二维离散型随机变量的分布律也可用表格形式表示为： Y X y1 y2 ... yj ... x1 p11 p12 ... p1j ... x2 p21 p22 ... p2j ... ... ... ... ... ... ... xi pi1 pi2 ... pij ... ... ... ... ... ... ... 例：设袋中有5只红球，3只白球。今从中任取一球，观察其颜色后将球放回袋中，并再加入与所取的球相同颜色的球2只，然后再从袋中任取一球，设 求二维随机变量(X,Y)的分布律及分布函数。 解 X的可能取值为0，1，Y的可能取值为0，1。 也可用表格形式给出 二维离散型 随机变量的联合分布函数 已知联合分布律可以求出其联合分布函数 已知离散型随机变量( X,Y ) 则(X,Y)关于X的边缘概率分布为 (X,