a不同特征值所对应特征向量线性无关.ppt

* 预 习习 题 六 (^-^) Bye! * 1.若A有n个互异特征值 A可相似对角化. 2. A可对角化 A有n个线性无关的特征向量. 3. A可对角化 A每个特征值的几何重数 R(λiE –A)=n- ri (i=1,2,…,s) =代数重数. 总 结(A为方阵) 4.实矩阵在实数域内对角化,首先特征值都 是实数,且每个特征值的几何重数=代数重数. 5.实对称阵一定可以正交相似对角化 * (1) 特征多项式, (2) 特征值, (1) A的k次幂, (2) (4)已知特征值,特征向量, 反求矩阵A. (3) 判断矩阵相似 (若A~ ?,B~ ?,则A~B.) (A可相似对角化). 2.可以简化方阵A的某些计算如求 A相似与对角阵?的应用： 1.有5同,所以易求 (3)行列式, (4) 迹, (5) 秩. * 设 求正交阵P,使得PTAP成对角阵. 解 (1) 例6 * 求得基础解系: (2) 将 代入(?E??????,得 * 先将其正交化: * 再单位化: * 将 ?4??? 代入 (?E??????, 得 解得基础解系: 单位化: * (3) 令 则P是正交阵,且 * 若给定n阶方阵A,直接计算 往往比较 困难, 如果存在可逆矩阵T使得T-1AT= ?为 对角形,那 的计算就能转化为 的计算. 所以将矩阵化为对角形能简化方阵A的 某些计算,也能给理论研究带来方便. 问题的提出: * A不同特征值所对应的特征向量线性无关. 若A有n个互异特征值,则一定有n个线性无关的特征向量. 属于不同特征值的线性无关的特征向量仍线性无关. 复习上讲主要内容 实对称阵不同特征值的实特征向量必正交. 实对称阵的ri重特征值?i一定有ri个线性无关的实特征向量. * 本节主要内容 相似矩阵的概念 方阵相似对角化的条件与方法 几何重数与代数重数 实对称矩阵正交相似对角化的方法 7.2 相似矩阵 * 设A,B是两个n阶方阵,如果存在 可逆矩阵T, 使 T-1AT =B 则称A与B相似, 记作A~B. 从A到B 的这种变换称为相似变换, T为相似变换矩阵. 7.2.1 相似矩阵的概念 1 定义 例如 T-1ET =E, * 即相似关系满足: (1) 自反性:A~A; (2) 对称性:若A~B, 则B~A; (3) 传递性:若A~B,B~C,则A~C. 矩阵的相似关系是 上的一种等价关系, 所以彼此相似的矩阵构成一个等价类, 最简单的代表元就是对角阵. * 2 相似矩阵的特征多项式 定理7.2 若A与B相似, 则特征多项式同, 即 证 因A与B相似, 所以存在可逆矩阵T, 使 T-1AT =B * 则 是A 的n个特征值. 推论 若n阶方阵A与对角阵 相似, ?结论成立. * 3 相似矩阵有5同 (4) 迹同: (1) 特征多项式同: (2) 特征值同: (3) 行列式同: (5) 秩同: 如果A, B是两个n阶方阵, A~B.则有 但逆命题不成立即 特征值同但不相似 阵 (2)的反例如下: * (1) 相似矩阵有相同的可逆性, 当A可逆时, 若A~B,则A-1~B-1, B*~A*,B*=T-1A*T . (2) 若A~B, 则Am ~ Bm, 其中m是正整数. (3) 若A~B, 设 f(x) 是一个一元多项式, 则 f (A)~f (B), 4 相似矩阵的性质 (5) 若A~B,则对?常数t有 (4) 若A~B,则AT ~ BT . * 与 相似, 解 由|5E –A|=5-5x=0 x = 1 tr(A) = tr(?) y = -1. 例1 求 x , y . 两矩阵相似 等价 5 矩阵的相似与等价的关系 显然A有特征值 5,-5. * 7.2.2 相似对角化的条件及方法 1 定义 若A与对角阵相似,称A可以相似 对角化. 2 相似对角化的条件 定理7.3 n阶方阵A与对角阵相似 A有n个线性无关的特征向量. A的n个线性无关的特征向量,且?的主对角线上元素是与其对应的特征值. T-1AT=?为对角阵 T的n个列向量是 * 证 设A与对角阵相似, 则?可逆阵T, 使 所以有 AT = T? 用T1, T2,…, Tn表示T 的n个列向量, 即 T=(T1, T2,…, Tn) (注意:证明过程给出相似对角化的方法) * 即 A(T1,…, Tn)=(AT1,…, ATn)= 等式两边的列向量应当对应相等, 所以: 由T可逆知, T1,…, Tn线性无关,故是A的 n个线性无关的特征向量. *