b8分析6—平方逼近(离散).ppt

构造离散正交多项式 定理6.2 按式（6-6），（6-7）构造的多项式系{?0, ?1,…, ?n }是点集{x1,x2,…,xn}上关于?i 的离散正交多项式。 证明: 用数学归纳法证明 当k = 1时，利用式（6-6）中第二式得: 从而证明了?0(x) 与?1(x)的离散正交性; （紧接下屏） 构造离散正交多项式（续1） 由归纳假设：对 待证： 定理6.2证明（续2）——归纳证明 （紧接下屏） 定理6.2证明（续2） 对j = 1,2,…,m-3，有 由归纳法原理，对一切自然数，多项式系{?0, ?1,…, ?m} 满足正交条件，因此是点集{xi}上关于?i的正交多项式系。 因此对k = m成立。 证毕！ 构造离散多项式举例 例6 试构造点集{0,1,2,3,4,5}上的离散正交多项式系 {?0(x), ?1(x), ?2(x), ?3(x)} 解：若没有给出?i ，一般认为?i =1，由三项递推式（6-6） ，（6-7）进行构造，计算中，在求出每个?k(x)的同时， 将其在所给节点上的值求出列入表6-1 中，以便求下一个 ?k+1(x)时使用。 x 0 1 2 3 4 5 ? 1 1 1 1 1 1 ? -2.5 -1.5 -0.5 0.5 1.5 2.5 ? 10/3 -2/3 -8/3 -8/3 -2/3 10/3 表6-1 3.2 用离散正交多项式作曲线拟合 设(xi,yi)(i =1,2,…,n) 为给定数据。?i 为对应的权系数(i=1,2,…,n)，若未给出?i ，则认为?i =1，{?0(x), ?1(x),…, ?m(x)} 为点集xi 上的离散正交多项式系，Φ为由其所有线性组合生成的多项式集合: 　　　　　　Φ = Span{?0(x), ?1(x),…, ?m(x)} 使其满足式（6-2），利用多项式{?0(x), ?1(x),…, ?m(x)} 的离散正交性易知，此时正规方程组（6-5）的系数矩阵为对角阵： 用离散正交多项式进行最小二乘曲线拟合,亦即求 ： （紧接下屏） 用离散正交多项式作曲线拟合（续） 可见，不用解线性方程组， 可减少含入误差，避免病态 情况出现，直接计算可得: 这样可总结利用离散正交多项式求给定(xi,yi) (i=1,2,…,n)带权?i (i=1,2,…,n)的拟合多项式的步骤 （逐步构造?k(x)法）： （紧接下屏） 求给定(xi,yi) 带权?i 的拟合多项式的步骤 1. 按三项递推式（6-6）（6-7）构造离散正交多项式系 {?0(x),?1(x),…, ?m(x)}； 2. 按（6-8）计算内积并由此得正规方程的解； 3. 按（6-9）写出拟合多项式?(x)。 拟合多项式举例 利用离散正交多项式求例2所给数据表的二次拟合 多项式 例7 解：按三项递推式及αk , ?k的计算公式可得： 而由系数ak的计算公式有 ： ?i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ?xi -1 -0.75 -0.5 -0.25 0 0.25 0.5 0.75 1 ?yi -0.2209 0.3295 0.8826 1.4392 2.0003 2.5645 3.1334 3.7601 4.2836 拟合多项式举例（续） 这与例2的计算法结果相同，但不必要解正规方程组， 而只需要计算内积，避免出现病态方程组的可能。并且当 逼近次数增加一次时，只需在原有的多项式中增加 一项，即在上例还可求三次、四次拟合多项式。 由此可得最小二乘二次拟合多项式为： 第六章 结 束 上机练习题：不同拟合模型的比较 已知观测数据如下表所示，按下述方案求最小二乘拟合函数，并求出偏差平方和Q，比较拟合曲线的优劣。 方案I 拟合函数取为如下形式的三次多项式： 方案II 用离散正交多项式求三次拟合多项式 方案III 用离散正交多项式求四次拟合多项式 方案IV 拟合函数取为如下形式的函数： x 0 0.2 0.6 1.0 1.3 1.6 1.7 1.8 1.9 y 0 ?2.5 ?4.0 ?5.7 ?3.5 ?2.0 ?1.0 2.0 3.5 x 2.2 2.3 2.5 2.6 2.9 3.1 3.4 3.8 4.1 y 4.0 7.0 7.5 9.9 10.9 11.9 13.5 13.0 11.9 x 4.4 4.7 4.