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b8分析6—平方逼近(离散)
构造离散正交多项式 定理6.2 按式(6-6),(6-7)构造的多项式系{?0, ?1,…, ?n }是点集{x1,x2,…,xn}上关于?i 的离散正交多项式。 证明: 用数学归纳法证明 当k = 1时,利用式(6-6)中第二式得: 从而证明了?0(x) 与?1(x)的离散正交性; (紧接下屏) 构造离散正交多项式(续1) 由归纳假设:对 待证: 定理6.2证明(续2)——归纳证明 (紧接下屏) 定理6.2证明(续2) 对j = 1,2,…,m-3,有 由归纳法原理,对一切自然数,多项式系{?0, ?1,…, ?m} 满足正交条件,因此是点集{xi}上关于?i的正交多项式系。 因此对k = m成立。 证毕! 构造离散多项式举例 例6 试构造点集{0,1,2,3,4,5}上的离散正交多项式系 {?0(x), ?1(x), ?2(x), ?3(x)} 解:若没有给出?i ,一般认为?i =1,由三项递推式(6-6) ,(6-7)进行构造,计算中,在求出每个?k(x)的同时, 将其在所给节点上的值求出列入表6-1 中,以便求下一个 ?k+1(x)时使用。 x 0 1 2 3 4 5 ? 1 1 1 1 1 1 ? -2.5 -1.5 -0.5 0.5 1.5 2.5 ? 10/3 -2/3 -8/3 -8/3 -2/3 10/3 表6-1 3.2 用离散正交多项式作曲线拟合 设(xi,yi)(i =1,2,…,n) 为给定数据。?i 为对应的权系数(i=1,2,…,n),若未给出?i ,则认为?i =1,{?0(x), ?1(x),…, ?m(x)} 为点集xi 上的离散正交多项式系,Φ为由其所有线性组合生成的多项式集合: Φ = Span{?0(x), ?1(x),…, ?m(x)} 使其满足式(6-2),利用多项式{?0(x), ?1(x),…, ?m(x)} 的离散正交性易知,此时正规方程组(6-5)的系数矩阵为对角阵: 用离散正交多项式进行最小二乘曲线拟合,亦即求 : (紧接下屏) 用离散正交多项式作曲线拟合(续) 可见,不用解线性方程组, 可减少含入误差,避免病态 情况出现,直接计算可得: 这样可总结利用离散正交多项式求给定(xi,yi) (i=1,2,…,n)带权?i (i=1,2,…,n)的拟合多项式的步骤 (逐步构造?k(x)法): (紧接下屏) 求给定(xi,yi) 带权?i 的拟合多项式的步骤 1. 按三项递推式(6-6)(6-7)构造离散正交多项式系 {?0(x),?1(x),…, ?m(x)}; 2. 按(6-8)计算内积并由此得正规方程的解; 3. 按(6-9)写出拟合多项式?(x)。 拟合多项式举例 利用离散正交多项式求例2所给数据表的二次拟合 多项式 例7 解:按三项递推式及αk , ?k的计算公式可得: 而由系数ak的计算公式有 : ?i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ?xi -1 -0.75 -0.5 -0.25 0 0.25 0.5 0.75 1 ?yi -0.2209 0.3295 0.8826 1.4392 2.0003 2.5645 3.1334 3.7601 4.2836 拟合多项式举例(续) 这与例2的计算法结果相同,但不必要解正规方程组, 而只需要计算内积,避免出现病态方程组的可能。并且当 逼近次数增加一次时,只需在原有的多项式中增加 一项,即在上例还可求三次、四次拟合多项式。 由此可得最小二乘二次拟合多项式为: 第六章 结 束 上机练习题:不同拟合模型的比较 已知观测数据如下表所示,按下述方案求最小二乘拟合函数,并求出偏差平方和Q,比较拟合曲线的优劣。 方案I 拟合函数取为如下形式的三次多项式: 方案II 用离散正交多项式求三次拟合多项式 方案III 用离散正交多项式求四次拟合多项式 方案IV 拟合函数取为如下形式的函数: x 0 0.2 0.6 1.0 1.3 1.6 1.7 1.8 1.9 y 0 ?2.5 ?4.0 ?5.7 ?3.5 ?2.0 ?1.0 2.0 3.5 x 2.2 2.3 2.5 2.6 2.9 3.1 3.4 3.8 4.1 y 4.0 7.0 7.5 9.9 10.9 11.9 13.5 13.0 11.9 x 4.4 4.7 4.
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