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* P429 1 (2), (3)； 3 ；4(2)(3) 作业 * 例如 * 主讲教师: 王升瑞 高等数学 第十九讲 * 推广 第七章 一元函数微分学 多元函数微分学 注意: 善于类比, 区别异同 多元函数微分学 * 第八章 第一节 一、平面点集 二、二元函数的概念 三、二元函数的极限 四、二元函数的连续性 多元函数的基本概念 * 一、平面点集 如一元函数中，点P与数 之间的关系。 当平面引进了一个直角坐标系后，平面上的点 与有序实数组 之间就建立了一一对应的关系。 二元函数中对应的点 的全体构成了坐标平面。 记为： 由集合的概念得： 若平面点的集合E由具有某种性质的点 的元素 的全体组成记为： 如： * 邻域： 点集 称为点 P0 的?邻域. 例如,在平面上, (圆邻域) 在空间中, (球邻域) 说明：若不需要强调邻域半径? ,也可写成 点 P0 的去心邻域记为 邻域和区域是研究多元函数时经常要用到的两个 基本概念。 下面主要在平面和空间直角坐标系中引入。 * 例如，在平面上 开区域 闭区域 ? ? ? ? * 二、二元函数的概念 引例: ? 圆柱体的体积 ? 定量理想气体的压强 ? 三角形面积的海伦公式 * 定义1. 设非空点集 点集 D 称为函数的定义域 ; 数集 称为函数的值域 . 特别地 , 当 n = 2 时, 有二元函数 当 n = 3 时, 有三元函数 则称 u 为定义 在 D 上的 n 元函数 , 记作 若对D 内的任意一点P, 变量 u 按照一定的法则总有唯一确定的值与它对应， * 函数 表示对应法则，此法则也可用 其他字母来表示，函数也可记成 等 同样自变量 和因变量 也可换成其他字母。 设点 是 定义域内的一点， 有唯一 确定的值与它对应。 这个值就称为二元函数 在点 处的函数值，记着; 用点函数表示： 在点 处的函数值： * 若函数 在点 处对应有函数值存在， 则称此函数在点 处是有定义的，否则称此函数 在点 处无定义。 若函数 在平面D域中点点有定义，则称 在平面D 域中定义。 例1：求 的定义域，并作其图形。 解：由反三角函数的定义知： 其点集介于直线 之间 * 例如, 二元函数 定义域为 圆域 图形为中心在原点的上半球面. * 二元函数 z = f (x, y), (x, y) ? D 的图形一般为空间曲面 ? . 说明 * * * 三、二元函数的极限 定义2. 设 二 元函数 点 , 则称 A 为函数 (也称为 二 重极限) 若记 二元函数的极限可写作： P0 是 D 的内 若存在常数 A , 对一 记作 都有 对任意正数 ? , 总存在正数? , 切 * 例1. 设 求证： 证: 故 * 或 例3 例4 * 例5 求 解: 此函数定义域 不包括 x , y 轴 则原式＝ * 求极限 解 其中 例6 * 函数趋于不同值或有的极限不存在， 则可以断定 以不同方式趋于 函数极限不存在 . 注 (1) 二元函数求极限中，点 必须是以任何方式都有 ? 若当点 (2) 有关一元函数极限的运算法则和定理,以及 无穷小的概念和定理都可以直接类推到二元函数. * 例7. 讨论函数 设 P(x , y) 沿直线 y = k x 趋于点 (0, 0) , 在点 (0, 0) 的极限. 则有 k 值不同极限不同 ! 在 (0,0) 点极限不存在 . 解: 此函数必有 1. 当点 2. 当点 * 确定极限不存在的方法： * 四、 二元函数的连续性 定义3 . 设 n 元函数 定义在 D 上, 如果函数在 D 上各点处都连续, 则称此函数在 D 上 如果存在 否则称为不连续, 此时 称为间断点 . 则称 n 元函数 连续. 连续, 二元函数在点 P0 处连续性的表达方法: 2. 全增量 * 例如, 函数 在点(0 , 0) 极限不存在, 又如, 函数 上间断. 故 ( 0, 0 )为其间断点. 在圆周 结论: 一切多元初等函数在定义区域内连续. * * * 和复合步骤所构成的可用一个式子所表示的多元函数 一切多元初等函数在其定义区域内是连续的． 定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域． 由多元多项式及基本初等函数经过有限次的四则运算 叫多元初等函数 多元初等函数 * 定理：若 f (P) 在有界闭域 D 上连续, 则 在 D 上可取得最大值 M 及最小值 m ; (3) 对任意 (有界性定理) (最值定理) (介值定理) 闭域上多元连续函数有与一元函数类似的如下性质: * 例8. 求函数 的连续域. 解: * 内容小结 1. 区域 邻域 : 区域 连通的