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* L.P204~P206 * 2000年考题 * 主讲教师: 王升瑞 高等数学 第十一讲 * 第三节 一、两向量的数量积 二、两向量的向量积 向量的数量积和向量积 第六章 * 一、两向量的数量积 沿与力夹角为 的直线移动, 1. 定义 设向量 的夹角为? , 称 记作 数量积 (点积、内积、标量积) . 引例. 设一物体在常力 F 作用下, 位移为 s , 则力F 所做的功为 注：数量积是数，不是向量 * 记作 故 2. 性质 为两个非零向量, 则有 ? 两个向量的数量积＝其中一个向量的模和另一个 向量在这个向量的方向上的投影的乘积。 * 3. 运算律 (1) 交换律 (2) 结合律 (3) 分配律 事实上, 当 时, 显然成立 ; * 4. 数量积的坐标表示 设 则利用数量积的运算律与性质得： 两个向量的数量积＝它们对应坐标的乘积之和。 * 当 为非零向量时, 由于 , 得 两向量的夹角公式 则当 * 例1. 已知三点 ? AMB . 解: 则 求 故 * 例2：已知 求 的模 解：根据数量积的限制和定义，得 * 例3. 证明三角形余弦定理 证: 则 如图 . 设 * 二、两向量的向量积 引例. 设O 为杠杆L 的支点 , 有一个与杠杆夹角为 是一个向量 M : 的力 F 作用在杠杆的 P点上 , 则力 F 作用在杠杆上的力矩 在研究物体转动问题时， 还要分析这些力所产生的力矩。 其大小 不但要考虑物体所受的力， 其中 称为力臂 —— 0点到力 的作用线的距离。 * 力矩的方向是这样确定的： 其方向符合右手规则 也就是 垂直于 和 所确定的平面。 即： 构成右手系。 即当右手的四个手指指向 的方向，拳转向 时，大拇指所指 的方向为力矩 的方向。 这由两个已知向量按上述方法确定另一个向量， 数学上称这个向量是已知两个向量的向量积。 * 1. 定义 定义 向量 方向 : (叉积、外积) 记作 且符合右手规则 模 : 向量积 , ? ? 称 引例中的力矩 思考: 对应的三角形面积 S＝ 注： 在几何上表示以 为邻边的 的平行四边形的面积。 * 2. 性质 为非零向量, 则 ∥ ∥ 3. 运算律 (2) 分配律 (3) 结合律 (证明略) 证明: 注： * 4. 向量积的坐标表示式 设 则 * 向量积还可用三阶行列式表示 * 向量积还可用三阶行列式表示 * 向量积的行列式计算法 上式均称为向量积的坐标表达式。 * 上式可以推出：当 因上式右端有 整理得： * 解： 例2：已知 * 解 例3 * 例4：设 求同时垂直于 的 1. 单位向量 2. 模为 解：先求出同时垂直于 的向量 * 2. 设 由题意可知 得 令 即 或 例4：设 求同时垂直于 的 2. 模为 * 例5. 已知三点 求三角形 ABC 的面积 解: 如图所示, * 在顶点为 三角形中, 求 AC 边上的高 BD . 解： 为邻边的平行四边形的面积为 例6. 而 故有 * 例7 已知 解 求 m . 为邻边的平行四边形面积为 * 内容小结 设 1. 向量运算 加减: 数乘: 点积: 叉积: * 思考与练习 1. 设 计算 并求 夹角? 的正弦与余弦 . 答案: 2. 用向量方法证明正弦定理: * 证: 由三角形面积公式 所以 因 * P391 1， 3 , 4 , 6 , 7 作业 * 主讲教师: 王升瑞 高等数学 第十九讲 * L.P204~P206 * 2000年考题