c7—1空间直角坐标系与向量的基本知识.ppt

* * 练习题答案 * * 数量关系 — 第七章 第一部分 向量代数 第二部分 空间解析几何 在三维空间中: 空间形式 — 点, 线, 面 基本方法 — 坐标法; 向量法 坐标, 方程（组） 向量代数与空间解析几何 * 四、向量的坐标 第一节 二、空间两点间的距离公式 三、向量的概念及线性运算 一、空间直角坐标系 空间直角坐标系与 向量的基本知识 第七章 * Ⅶ Ⅱ Ⅲ Ⅵ Ⅴ Ⅷ Ⅳ 一、空间直角坐标系 由三条互相垂直的数轴按右手规则 组成一个空间直角坐标系. 坐标原点 坐标轴 x轴(横轴) y轴(纵轴) z 轴(竖轴) 过空间一定点 o , 坐标面 卦限(八个) zox面 1. 空间直角坐标系的基本概念 Ⅰ * 向径 在直角坐标系下 坐标轴上的点 P, Q , R ; 坐标面上的点 A , B , C 点 M 特殊点的坐标 : 有序数组 (称为点 M 的坐标) 原点 O(0,0,0) ; * 坐标轴 : 坐标面 : * 二、空间两点间的距离 * 特殊地，空间任一点与坐标原点的距离是 练习: 1. 在空间直角坐标系中求作点 M(4,6,3) . 2. 求点 A (a, b, c)关于三个坐标面、三条坐标轴、 坐标原点的对称点的坐标,并求A与它们的距离. * 表示法: 向量的模 : 向量的大小, 三、向量的概念与线性运算 向量: (又称矢量). 既有大小, 又有方向的量称为向量 向径 (矢径): 自由向量: 与起点无关的向量. 起点为原点的向量. 单位向量: 模为 1 的向量, 零向量: 模为 0 的向量, 有向线段 M1 M2 , 或 a . . 记作 记作 , 或 零向量没有确定的方向. * 规定: 零向量与任何向量平行 ; 若向量 a 与 b大小相等, 方向相同, 则称 a 与 b 相等, 记作 a＝b ; 若向量 a 与 b 方向相同或相反, 则称 a 与 b 平行, a∥b ; 与 a 的模相同, 但方向相反的向量称为 a 的负向量, 记作 因平行向量可平移到同一直线上, 故两向量平行又称 两向量共线 ; 若 k (≥3)个向量经平移可移到同一平面上 , 则称此 k 个向量共面 . 记作－a ; * 向量的线性运算 1. 向量的加法 三角形法则: 平行四边形法则: 运算规律 : 交换律 结合律 三角形法则可推广到多个向量相加 . 如: * * 2. 向量的减法 三角不等式 * 3. 向量与数的乘法 ? 是一个数 , 规定 : 可见 ? 与 a 的乘积是一个新向量, 记作 总之: 运算律 : 结合律 分配律 因此 * 在空间直角坐标系下, 设点 M 则 的坐标为 任意向量 r 可用向径 OM 表示. 四、向量的坐标 沿三个坐标轴方向的分向量, 此式称为向量 r 的 坐标分解式 , * 利用向量坐标作向量的线性运算 设 则 平行向量对应坐标成比例: 注:分母不全为零,如果某项分母为零,则该项的分子为零. * 向量的模、方向角、投影 1. 向量的模 则有 由勾股定理得 因 得向量的模为: 对两点 与 * 例4. 求证以 证: 即 为等腰三角形 . 的三角形是等腰三角形 . 为顶点 * 例5. 在 z 轴上求与两点 等距 解: 设该点为 解得 故所求点为 及 思考: (1) 如何求在 xoy 面上与A , B 等距离之点的轨迹方程? (2) 如何求在空间与A , B 等距离之点的轨迹方程 ? 离的点 . * 提示: (1) 设动点为 利用 得 (2) 设动点为 利用 得 且 例6. 已知两点 和 解: 求 * 2. 向量的方向角与方向余弦 设有两非零向量 任取空间一点 O , 称 ? =∠AOB (0≤ ?≤ ? ) 为向量 的夹角. 类似可定义向量与轴, 轴与轴的夹角 . 与三坐标轴的夹角? , ? , ? 为其方向角. 方向角的余弦称为其方向余弦. 记作 * 方向余弦的性质: * 例7. 已知两点 和 的模 、方向余弦和方向角 . 解: 计算向量 * 例8. 设点 A 位于第一卦限, 解: 已知 角依次为 求点 A 的坐标 . 则 因点 A 在第一卦限 , 故 于是 故点 A 的坐标为 向径 OA 与 x 轴 y 轴的夹 第二节 目录 上页 下页 返回 结束 * 空间一点在轴上的投影 3、向量在轴上的投影 * 空间一向量在轴上的投影 * 关于向量的投影定理（1） 证 B ￠￠ * 定理1的说明： 投影为正； 投影为负； 投影为零； (4) 相等向量在同一轴上投影相等； * 关于向量的投影定理（2） （可推广到有限多个） * 备用题 解: 因 1. 设 求向量 在 x 轴上的