ch2 离散型随机变量和分布.ppt

若对固定的 j, p. j 0, 则称 i= 1, 2, … 为Y＝ yj 的条件下，X的条件分布律。 记为 pi | j＝ 同理，若对固定的 i , pi . 0, 则称 Pj | i＝ j= 1, 2, … 为X＝ xi的条件下，Y的条件分布律。 条件分布律也满足分布律的性质。 例 一射手进行射击，命中目标的概率为p (0 p 1)，射击进行到命中目标两次为止，现用X 表示首次命中目标所进行的射击次数，用Y 表示总共进行的射击次数。试求X 和Y 的联合分布律及条件分布律。 解 由题意知（X，Y）的分布律为 P{X=m , Y=n }＝ p 2 (1－p) n －2 n=2, 3, …， m=1, 2, …, n－1； X服从参数为p的几何分布， 其分布律为 P{X=m }＝p (1－p) m －1， m=1, 2, … Y服从参数为 (2, p)的负二项分布， 其分布律为 P{Y=n}＝(n－1)p2(1－p)n－2， n=2, 3, … (X和Y的边缘分布律也可由联合分布律求得) 于是当n=2, 3, … 时 Pm |n＝P{X=m|Y=n }＝ m＝1, 2, … ,n－1 当m=1, 2, … 时 Pn | m＝P{Y=n|X=m }＝ n＝m+1, m+2, … ? 离散型随机变量的相互独立性 设随机变量X与Y的联合分布律为 (X, Y )～ P{X＝xi , Y＝ yj }＝ pij ，(i, j＝1, 2, … ) 若对任意的 i、j，有 pij ＝ pi . ·p. j， 即 P{X＝xi , Y＝ yj }＝ P{X＝xi }P{Y＝ yj } 则称随机变量X与Y相互独立。 例 将两封信投入3个编号为1、2、3的信箱，用X、Y分别表示投入第1、2号信箱的信的数目，试判断X与Y是否独立？为什么？ 上述独立的概念不难推广到n维离散型随机变量的情形。 设X1，X2，… , Xn 为一个n维离散型随机变量， 若对任意的 x1，x2，… , xn 有: P{X1= x1 , X2= x2 , … , Xn = xn } = P{X1= x1}P{X2= x2 } … P{Xn = xn } 则称随机变量X1，X2，… , Xn相互独立。 以 X 记 n 重贝努里试验中A发生的次数，则 X~B(n，p) 若记 若在第 i 次试验中 A 发生； 若在第 i 次试验中 A 不发生。 X 0 1 P 1-p p 于是有： B(n，p) 1, 0, ? 离散型随机变量函数的分布律 1. 一维离散型随机变量函数的分布律 定理 设X一个随机变量，若 y＝g(x)是一元单值实函数，则Y＝g(X )也是一个随机变量。 若 X～P{X＝xk }＝pk , k＝1, 2, … 则 Y＝g(X)～ P{Y＝g(xk )}＝ pk ， k＝1, 2, … 其中g(xk )有相同的，其对应概率合并。 显然，Y的分布律也满足分布律的性质。 例 设 r.v. X的分布律为： X ? 2 ?1 0 1 3 p 0. 2 0.1 0.3 0.3 0.1 求Y=X 2及 Z=2X+3的分布律。 2. 多维离散型随机变量函数的分布律 定理 设X1，X2，… , Xn 一个 n 维随机变量，若y＝g(x1, x2, … , xn )是一个 n 元实值函数，则Y＝g(X1，X2，…, Xn )也是一个随机变量。 写出Y＝g(X1，X2，…, Xn )的所有可能取值，然后求其取每一个值的概率。 例 设随机变量(X，Y )的分布律为 X 0 1 2 3 4 5 0 0.00 0.01 0.03 0.05 0.07 0.09 1 0.01 0.02 0.04 0.05 0.06 0.08 2 0.01 0.03 0.05 0.05 0.05 0.06 3 0.01 0.02 0.04 0.06 0.06 0.05 (1) 求P{X=2|Y=2}, P{X=3|Y=0}; (2) 求W＝X＋Y的分布律; (3) 求V＝max(X, Y )的分布律； (4) 求U＝min(X, Y )的分布律。 Y 例 设 X～P(? 1), Y～P(? 2)，且 X 与Y 相互独立，求 Z＝X＋Y 的