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第三节 随机变量的分布函数 随机变量分布函数的定义 分布函数的性质 小结 一、分布函数的定义 如果将 X 看作数轴上随机点的坐标，那么分布函数 F(x) 的值就表示 X落在区间 内的 概率. 设 X 是一个 r.v，称 为 X 的分布函数 , 记作 F (x) . (1) 在分布函数的定义中, X是随机变量, x是参变量. (2) F(x) 是r.v X取值不大于 x 的概率. (3) 对任意实数 x1x2，随机点落在区间( x1 , x2 ]内 的概率为： P{ x1X x2} 因此，只要知道了随机变量X的分布函数， 它的统计特性就可以得到全面的描述. =P{ X x2 } - P{ X x1 } = F(x2)-F(x1) 请注意 : 分布函数是一个普通的函数， 正是通过它，我们可以用高等数 学的工具来研究随机变量. 当 x0 时，{ X x } = ， 故 F(x) =0 例1 设 随机变量 X 的分布律为 当 0 x 1 时， F(x) = P{X x} = P(X=0) = F(x) = P(X x) 解 X 求 X 的分布函数 F (x) . 当 1 x 2 时， F(x) = P{X=0}+ P{X=1}= + = 当 x 2 时， F(x) = P{X=0} + P{X=1} + P{X=2}= 1 故 注意右连续 下面我们从图形上来看一下. 的分布函数图 设离散型 r .v X 的分布律是 P{ X=xk } = pk , k =1,2,3,… F(x) = P(X x) = 即F(x) 是 X 取 的诸值 xk 的概率之和. 一般地 则其分布函数 二、分布函数的性质 (1) 如果一个函数具有上述性质，则一定是某个r.v X 的分布函数. 也就是说，性质(1)--(3)是鉴别一个函数是否是某 r.v 的分布函数的充分必要条件. (3) F(x) 右连续，即 (2) 且 试说明F(x)能否是某个r.v 的分布函数. 例2 设有函数 F(x) 解 注意到函数 F(x)在 上下降， 不满足性质(1)，故F(x)不能是分布函数. 不满足性质(2)， 可见F(x)也不能是r.v 的分布函数. 或者 例3 一个靶子是半径为2m的圆盘,设击中靶上任 一同心圆盘上的点的概率与该圆盘的面积成正比, 并设射击都能中靶,以X表示弹着点与圆心的距离. 试求随机变量 X 的分布函数. 解 于是 故 X 的分布函数为 其图形为一连续曲线 　　注意 两类随机变量的分布函数图形的特点不 一样. 小结 分布函数 2、分布律 1、离散型随机变量的分布函数 练习题 F(x) = P(X x) 故 作业 P57 习题二 17,18 * * * * * * * * * * * * * * * *