ch3插值法与最小二乘法-3.4newton插值.ppt

* * * * * * * * * * * * * 第三章 插值法和最小二乘法 3.4 Newton插值法 * 3.4 Newton插值法 (1) * ？ 是否存在其它的插值法，可以解决上述问题呢? * 由线性代数的知识可知,任何一个n次多项式都可表示成: 共n+1个多项式的线性组合。那么，是否可以将这n+1个 多项式作为插值基函数呢？ 显然这n+1个多项式线性无关,故可以作为插值基函数. (2) * (3) 可以求得： * * 一、均差(差商) 1.均差的定义: (4) (5) 缺倒数第二个节点 缺最后一个节点 最后一个节点－倒数第二个节点 * (6) 缺倒数第二个节点 缺最后一个节点 最后一个节点－倒数第二个节点 2．k 阶均差形式 分子两项：均为 k 个节点，第一项缺倒数第二个节点，第二项缺最后一个节点； 分母为两个节点之差：最后一个节点减去倒数第二个节点。 1．一个高阶均差可由两个低一阶的均差得到。 注： * 由此定义,显然: 用归纳法可证： (7) 因此，（3）式可变为： (8) * 2. 均差的性质 (9) 证：可用数学归纳法证明(证明略).这里只验证一下: * 2）性质2（对称性）：均差对于定义它的节点而言是 对称的,也就是说任意调换节点的次序,均差的值不变 (10) (10)式是计算中常用的均差公式，可用其形成均差表. 缺第一个节点 缺最后一个节点 最后一个节点－第一个节点 * 均差的计算方法(表格法): 规定函数值为零阶均差（差商） 均差表 * 补充两个性质 证明：稍后证明。 * * 二、Newton插值公式及其余项公式 1. 定义1: 称 (12) (13) 为 k 次多项式 由插值多项式的唯一性， Newton 插值公式的余项为 * 2. Newton插值余项的另一种表示 * 因此可得: Newton插值余项的另一种表示 Newton插值多项式 * 因此，推广得： 4. Newton插值估计误差的实用公式： 3. 性质3的证明 (14) (15) * 5. 分段Newton插值 用Newton插值法也要避免使用高次插值，当采用分段插值时，也应该选择靠近插值点的节点作插值节点，这可减小截断误差。方法同Lagrange插值一样。计算前先确定插值点x的位置，然后根据插值多项式的次数，选择靠近x的节点。 例1: （P83：例1） * 6. Newton向后插值公式 (16) (17) (18) Newton向后插值公式 Newton向后插值余项公式 * 所以公式(17)中的各阶均差与公式(16)中的各阶均差可在同一个均差表中找到. 例2: 利用例1的函数表，用三次Newton插值多项式计算 f (0.955) 的近似值并估计误差 （P84例2） * 例3: 给定 f (x) = cos x 的函数表如下： k 0 1 2 3 4 5 6 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 1.0000 0.99500 0.98007 0.95534 0.92106 0.87758 0.82534 用四次Newton插值多项式计算cos0.048及cos0.566的近似值，并估计误差. Newton插值法的优点是计算较简单,尤其是增加节点时, 只需计算增加项,这点是Lagrange插值无法比的. 但是分段Newton插值仍然没有改变分段Lagrange插值的 插值曲线在节点处有尖点，不光滑，插值多项式在节点 处不可导等缺点. * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *