ch3第五节两个随机变量的函数的分布.ppt

三、课堂练习 设 是相互独立的随机变量, 它们都服从正 态分布 .试验证随机变量 具有概率密度 1,设随机变量 且满足P{X1X2=0}=1，求 （1）(X1 ,X2)的联合概率分布； （2） P{X1 X2}； （3） P{X1 =X2}。 2.设随机变量X与Y独立，其中X的概率分布为 而Y的概率密度为f(y)，求随机变量U=X+Y的概率密度g(u). 3.设二维随机变量(X,Y) 的概率分布为 0 1 0 0.4 a 1 b 0.1 已知随机事件 与 相互独立， 则有（B） (A) a=0.2, b=0.3 (B) a=0.4, b=0.1 (C) a=0.3, b=0.2 (D) a=0.1, b=0.4 4.设随机变量X与Y独立分布, 且X的概率分布为 记 求(U, V)的概率分布; 解 易知U, V 的可能取值均为: 1, 2. 且 5. 设X1 ,X2 独立同分布，且X1的分布律为 X1 1 2 3 4 P 0.1 0.2 0.3 0.4 Y=max{X1 ,X2 }，求 （1） Y的概率分布： （2）(Y, X1)的联合概率分布。 作业 P87 习题三 21,24,26,29,34 一、离散型随机变量函数的分布 第五节 两个随机变量的 函数的分布 二、连续型随机变量函数的分布 例1 设两个独立的随机变量X 与Y 的分布律为 求随机变量 Z=X+Y 的分布律. 因为 X与Y 相互独立, 所以 于是 解 可得 所以 例2 设相互独立的两个随机变量 X,Y 具有同一 分布律,且X 的分布律为 解 于是 二、连续型随机变量的函数的分布 由此可得概率密度函数为 当X, Y 独立时, 由于X 与Y 对称, 卷积公式fx*fY 为确定积分限,先找出使被积函数不为 0 的区域 例3 若 X 和Y 独立, 具有共同的概率密度 求 Z=X+Y 的概率密度 . 解 由卷积公式 也即 暂时固定 故 当 或 时 , 当 时 , 当 时 , 于是 由公式 解 由于 得 例4 设两个独立的随机变量 X 与Y 都服从标准 正态分布,求 Z=X+Y 的概率密度. 说明 以上结论可推广为 有限个相互独立的正态随机变量的线性组合仍然服从正态分布. 有限个独立正态变量的线性组合仍然服从正态分布. 即 更一般地, 可以证明: 若 相互独立，则 例5 设随机变量X与Y相互独立,且其分布密度 分别为 其它. 其它. 求随机变量 Z=2X+Y 的分布密度. 由于X与Y相互独立,所以 (X,Y) 的分布 密度函数为 随机变量 Z 的分布函数为 解 其它. 所以随机变量 Z 的分布密度为 二、Z=Y\X, Z=XY的分布 设(X,Y)的概率密度为f(x,y)，则Z=Y\X的密 度函数为 当 X, Y 独立时, 解 例6 则有 故有 推广 需要指出的是，当X1,…,Xn相互独立且具有相同分布函数F(x)时, 常称 M=max(X1,…,Xn)，N=min(X1,…,Xn) 为极值 . 由于一些灾害性的自然现象，如地震、洪水等等都是极值，研究极值分布具有重要的意义和实用价值. 解 例8 对某种电子装置的输出测量了5次,得到的观 察值 设它们是相互独立的变量 ,且都服从同一分布: 解