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* * * * * * * * * 第五节 随机变量函数的分布 一、离散型随机变量函数的分布 二、连续型随机变量函数的分布 将与Y 有关的事件转化成 X 的事件 求随机变量Y= g ( X )的概率密度或分布律。 已知随机变量 X 的概率密度或分布律 问题 方法 　若X为离散型随机变量, 其分布律为 X x1 x2 x3 ．．．．．．． xn．．．． pk p1 p2 p3 ．．．．．．． pn．．．． 则随机变量X的函数 Y= g (X) 的分布律为 Y g( x1) g( x2) g( x3)．．．．． g (xn)．．．． pk p1 p2 p3 ．．．．． pn．．．． 如果g( x i )（i=1,2,…)中有相同的值，则将相等的值加以合并，对应的概率相加，从而得到Y的分布律。 一、离散型随机变量函数的分布 P54 由X的分布律首先列出下表 例1(P55) 设随机变量X的分布律为： 0 1 2 3 4 5 X 解： 0 1 2 3 4 5 X Y=2X+1 1 3 5 7 9 11 Y=(X-2)2 4 1 0 1 4 9 由上述表格可得： 1 3 5 7 9 11 Y 0 1 4 9 Y 即： 0 1 4 9 Y 设X是连续型随机变量，概率密度为f (x), g(x)是连续函数，则随机变量Y=g(X)一般也是连续型随机变量，求Y=g(X)的概率密度。 二、连续型随机变量函数的分布 1、一般方法 Step1: Step2: 解： 例2(P56)设随机变量 求 的概率密度。 称Y服从自由度为1的 分布。 结论： 即 例3.设随机变量 求 的概率密度。 解： 从而得： 2、公式法 其中 h(y) 是g(x) 的反函数， 定理(P57) 设连续型随机变量X的概率密度 ，又设函数g(x)处处可导，且对任意x 有 (或恒有 ），则Y=g(X)是一个连续型随机变量，其 概率密度为： 若f (x)在有限区间[a,b]以外等于零，则只需要求在[a,b]上恒有 （或恒有 ），此时： 注：P58 例4(P58)设随机变量 ，求线性函数 解： 的概率密度。 (或 ） 且 得： 特别地： 结论： 正态分布的线性函数仍服从正态分布 即 例5.设随机变量 的概率密度为 求 的概率密度。 单调可导 且 解： (或 ） 单调可导 (1) (2) (3)代公式 例5. 设随机变量X的概率密度为 求随机变量Y=3X－1的概率密度。 由y=3x－1在(0,1)内单调可导, 解： 得： P56例2解法二 18(1).设随机变量 ,求 的概率密度。 单调可导 解： (或 ） 练习 1.引进了随机变量的概念，要会用随机变量表示随机事件。 第二章 小 结 3.给出了分布函数的定义及性质，要会利用分布函数求事件的概率。 2.给出了离散型随机变量及其分布律的定义、性质，要会求离散型随机变量的分布律及分布函数，掌握常用的离散型随机变量分布：两点分布、二项分布、泊松分布 4 给出了连续型随机变量及其概率密度的定义、性质，要掌握概率密度与分布函数之间关系及其运算，掌握常用的连续型随机变量分布：均匀分布、指数分布和正态分布。 5.会求随机变量的函数的分布。 课外作业：复习高数中二重积分及偏导数知识 * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *