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第三节 协方差和相关系数 一.协方差 二.相关系数 三.标准化随机变量 1.定义 设(X,Y)是二维随机变量，称量 E{[X?E(X)][Y?E(Y)]} 为随机变量X和Y的协方差，记作cov(X,Y)，即 cov(X,Y)=E{[X?E(X)][Y?E(Y)]} 一.协方差 P116 上节课方差性质3证明中 2.计算公式 证明： 由数学期望性质可知： 若X和Y相互独立，则 cov(X,Y)=0 所以 3.性质 P117 cov(X,Y)= cov(Y,X). cov( aX ,bY)= a b cov(X,Y ),其中a,b是常数. cov(X1+X2,Y)= cov(X1 ,Y) +cov(X2,Y) cov(X,X)= D(X) 由方差性质3的推导过程和协方差性质可知： 性质1 性质2 性质3 注: 若X和Y相互独立，则 cov(X,Y)=0 性质4 1.标准化随机变量 设X是随机变量，称 为标准化随机变量. 显然： 1. E(X*)=0，D(X*)=1 2. 记 则 (定义为相关系数) 二.相关系数 P117 设(X,Y)是二维随机变量，当D(X)0, D(Y)0时，称量 为随机变量X和Y的相关系数或标准协方差，记作ρXY，即 ２.定义 P117 3.性质 性质1 | ρXY|≤1 性质2 |ρXY|=1的充要条件为存在常数a，b，使得 P{Y=aX+b}=1成立，即X与Y以概率1线性相关. 可以用来表征X与Y之间线性关系紧密程度 注： 的量. 称X和Y不相关 性质3 若X和Y相互独立，则X和Y不相关. 证明： 由X和Y相互独立得： cov(X,Y)=0 从而得 即X和Y不相关. X和Y不相关,不一定X和Y相互独立. 注： 例1（作业13）设随机变量Z的分布律为： Z 0 0.3 0.4 0.3 且设X=sinZ, Y=cosZ, 试验证X和Y是不相关的， 但X和Y不是相互独立的. X -1 0 1 0.3 0.4 0.3 解： Y 0 1 0.6 0.4 XY 0 1 X, Y, XY的分布律分别为 则 E(X)=0, E(Y)=0.4, E(XY)=0 所以 Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=0 X和Y是不相关的 X和Y的联合分布律为 X Y 0 1 -1 0 1 0.3 0 0 0.4 0.3 0 显然 所以X和Y不是相互独立的. 例 设（X，Y）的概率密度为 试判断X和Y是否不相关，是否相互独立. 解： 所以 所以，X和Y不相关 因为 所以X和Y不相互独立 即X和Y不相关，但X和Y不相互独立 注： 下列5个命题是等价的： 例2.设 求 解： 求 cov (X ,Y ), ?XY 例3.已知 X ,Y 的联合分布律为 X Y 0 1 0 1 0 p q 0 0 p 1 p + q = 1 0 1 p q X P 0 1 q p Y P 解： 例4.设连续型随机变量 的概率密度为 求 解： 又 若 ( X ,Y ) ~ N ( ?1, ?2, ?12, ?22, ?), 则 例5（P121例2） 若 ( X ,Y ) ~ N ( ?1, ?2, ?12, ?22, ?), 则X ,Y 相互独立 前已知： 若 ( X ,Y ) ~ N ( ?1, ?2, ?12, ?22, ?), 则X ,Y 相互独立 X ,Y不相关 由此可知： 例6.设 ( X ,Y ) ~ N ( 1 , 1, 4 , 4 , 0.5 ), Z = X + Y ,求? XZ 解： 第四章 小 结 1. 阐述了数学期望、方差的概念及背景，要掌握它们的性质与计算，会求随机变量函数的数学期望和方差 2 .要熟记两点分布、二项分布、泊松分布、均匀分布、指数分布和正态分布的数学期望与方差 3. 给出了契比雪夫不等式，要会用契比雪夫不等式作简单的概率估计。 4. 引进了协方差、相关系数的概念，要掌握它们的性质与计算。 5 .要掌握二维正态随机变量的不相关与独立的等 价性。 练习 1.设X的概率密度函数 则 2.设二维随机变量 ， 则 4.设随机变量X和Y相互独立，概率密度分别为 则 （A）1 （B） （C） （D） 3. 当随机变量 （A）2 （B）4 （C）6 （D）8 （ ） （ ） C D