cho7第7节共轭元和共轭子群.ppt

孔荫莹 广东财经大学数学与统计学院 数学可以把灵活引导到真理。 ―苏格拉底（Socrate,前469年—前399年） 数学是科学的大门和钥匙。 -R.培根(Roger Bacon, 1214-1294) Histories make men wise; poets, witty; the mathermatics, subtile; natural philosophy, deep; moral, grave; logic and rhetoric, able to contend… ---- F.培根（Francis Bacon 1561～1626） 第二章 二、共轭元和共轭类 五、小结与思考 一、中心和中心化子 第七节 机动 目录 上页 下页 返回 结束 共轭元和共轭子群 三、共轭子群和正规化子 四、置换群的共轭群 一、 中心和中心化子 机动 目录 上页 下页 返回 结束 1、定义1 设 是一个群，和 中所有元素 都可交换的元素构成的集合称为群的中心， 记为 和 ，即 显然， 2、定义2 设 是 一个非空子集， 中和 的所有元素均可交换的元素构成的集合 机动 目录 上页 下页 返回 结束 称为 在 中的中心化子（centerlizer），即 易证： 而 称为 元素在 中的中心化子. 例1 设 是对矩阵 乘法构成的群， 则 机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、 共轭元和共轭类 机动 目录 上页 下页 返回 结束 1、定义3 设 是群， ,若存在 使 ，则称 与 共轭（conjugate）. 显然,群中元素间的共轭关系是一种等价关系, 故每一个等价类称为一个共轭类,记为 由于 ,故 当 时,有 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2、引理1 设 是群， ，且 ，则有 3、定理1设 是有限群， 是 的中心，则有 ---类方程(class equation). 例2 设 是有限群， （ 为素数）， 则 有非平凡中心，即 三、 共轭子群与正规化子 机动 目录 上页 下页 返回 结束 1、定义4 设 是群， ,则子群 称为 的共轭子群（conjugate subgroup），并称 与 共轭（conjugate）. 显然，正规子群的共轭子群是自身. 正规子群又称自共轭子群(self conjugate subgroup). 2、设 为 中所有子群的集合， 机动 目录 上页 下页 返回 结束 在 中定义二元关系～为： 则～是中的一个等价关系， 每一个等价类 称为子群的共轭类. 3、设 所在的共轭类记为 显然，当 时， 机动 目录 上页 下页 返回 结束 4、定义5 设 ，则 习惯上，称 为 在 中的正规化子 （normalizer）. 5、定理2 设 是有限群， 为 在 中的正规化子，则与 共轭的子群 个数为 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例3 设 是群， 是 中惟一的n阶子群，则 四、 置换群的共轭类 机动 目录 上页 下页 返回 结束 1、定理3 设 是一个置换群， 与 在 中共轭，则 与 的类型相同. 2、定理4 设 是对称群， 与 在 中共轭的 充分必要条件是 与 类型相同. 3、定理5 设 是 中所有与 有相同类型置换的集合,考虑 在 中的 化子 ,则 机动 目录 上页 下页 返回 结束 1)当 含有一个奇置换时, 是 的一个共轭类; 2）当 不含有奇置换时, 在 中 分裂为以下两个共轭类: 机动 目录 上页 下页 返回 结束