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d11512高斯,2斯托克斯公式[合]
* 运行时, 点击按钮“定理1”, 可看定理1内容. * * * * * * * * * * * 运行时, 点击按钮“P16” ,可显示三度的含义. * * 运行时, 点击“(斯托克斯公式)”, 或按钮“介绍”, 将显示斯托克斯生平简介, 并自动返回. * 运行时, 点击按钮“定理1”, 可看定理1 内容. * * 运行时, 点击按钮“公式”, 可看斯托克斯公式的其他形式. * * * * * 例8 ( L. P348 例13 ) * * * 例16 ( L.P339例4 ) 第五节 一、高斯公式 二、通量与散度 机动 目录 上页 下页 返回 结束 高斯公式 斯托克斯公式 第十一章 三、斯托克斯公式 四、环流量与旋度 一、高斯( Gauss )公式 定理1. 设空间闭区域 ? 由分片光滑的闭曲 ? 上有连续的一阶偏导数 , 下面先证: 函数 P, Q, R 在 面? 所围成, 则有 (Gauss 公式) 高斯 目录 上页 下页 返回 结束 ? 的方向取外侧, 证明: 为XY型区域 , 则 定理1 目录 上页 下页 返回 结束 设 所以 若 ? 不是 XY–型区域 , 则可引进辅助面将其分割 成若干个 XY–型区域, 故上式仍成立 . 负抵消, 在辅助面正反两侧面积分正 类似可证 三式相加, 即得所证 Gauss 公式: 定理1 目录 上页 下页 返回 结束 例1. 用Gauss 公式计算 其中? 为柱面 闭域 ? 的整个边界曲面的外侧. 解: 这里 利用Gauss 公式, 得 原式 = (用柱坐标) 及平面 z = 0 , z = 3 所围空间 思考: 若 ? 改为内侧, 结果有何变化? 若 ? 为圆柱侧面(取外侧) , 如何计算? 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例2. 利用Gauss 公式计算积分 其中 ? 为锥面 解: 作辅助面 取上侧; 介于 z = 0 及 z = h 0 之间部分的下侧. 所围区域为?, 则 机动 目录 上页 下页 返回 结束 利用重心公式, 注意 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例3. 设? 为曲面 取上侧, 求 解: 作取下侧的辅助面 先二后一 轮换对称性 机动 目录 上页 下页 返回 结束 在闭区域 ?上具有一、 二阶连续偏导数, 证明格林( Green )第一公式 例4. 设函数 其中 ? 是整个 ? 边界面的外侧. 分析: 高斯公式 机动 目录 上页 下页 返回 结束 证:令 由高斯公式得 移项即得所证公式. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、通量与散度 引例. 设稳定流动的不可压缩流体的密度为1, 速度场为 理意义可知, 设? 为场中任一有向曲面, 单位时间通过曲面? 的流量为 则由对坐标的曲面积分的物 由两类曲面积分的关系, 流量还可表示为 机动 目录 上页 下页 返回 结束 若? 为方向向外的闭曲面, 当? 0 时, 说明流入? 的流体质量少于 当? 0 时, 说明流入? 的流体质量多于流出的, 则单位时间通过? 的流量为 当? = 0 时, 说明流入与流出? 的流体质量相等 . 流出的, 表明? 内有涌出; 表明 ? 内有吸入 ; 根据高斯公式, 流量也可表为 机动 目录 上页 下页 返回 结束 ③ 方向向外的任一闭曲面 , 记? 所围域为?, 设? 是包含点 M 且 为了揭示场内任意点M 处的特性, 在③式两边同除以? 的体积 V, 并令? 以 任意方式缩小至点 M 则有 此式反应了流速场在点M 的特点: 其值为正,负或 0, 分别反映在该点有流体涌出, 吸入, 或没有任何变化. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 定义: 设有向量场 其中P, Q, R 具有连续一阶偏导数, ? 是场内的一片有向 则称 曲面, 其单位法向量 n, 为向量场 A 通过 有向曲面 ? 的通量(流量) . 在场中点 M(x, y, z) 处 称为向量场 A 在点 M 的散度. 记作 机动 目录 上页 下页 返回 结束 表明该点处有正源, 表明该点处有负源, 表明该点处无源, 散度绝对值的大小反映了源的强度. 若向量场 A 处处有 , 则称 A 为无源场. 例如, 匀速场 故它是无源场. P16 目录 上页 下页 返回 结束 说明
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