d116高斯公式通量和散度.ppt

思考与练习 所围立体, 判断下列演算是否正确? (1) (2) ? 为? 机动 目录 上页 下页 返回 结束 作业 P174 1 (2), (4), (5); 2(2) ; 3; 4 第七节 目录 上页 下页 返回 结束 备用题 设 ? 是一光滑闭曲面, 所围立体 ? 的体 ? 是 ? 外法线向量与点 ( x , y , z ) 的向径 试证 证: 设 ? 的单位外法向量为 则 的夹角, 积为V, 机动 目录 上页 下页 返回 结束 高斯(1777 – 1855) 德国数学家、天文学家和物理学家, 是与阿基米德, 牛顿并列的伟大数学家, 他的数学成就遍及各个领域 , 在数论、 级数、复变函数及椭圆函数论等方面均有一系列开创 性的贡献, 他还十分重视数学的应用, 地测量学和磁学的研究中发明和发展了最小二乘法、 曲面论和位势论等. 他在学术上十分谨慎, 原则: 代数、非欧几何、 微分几何、 超几何 在对天文学、大 恪守这样的 “问题在思想上没有弄通之前决不动笔”. * 运行时, 点击按钮“相片”, 或按钮“高斯”, 可显示高斯简介,并自动返回. * 运行时, 点击按钮“定理1”, 可看定理1内容. * 运行时, 点击按钮“定理1”, 可看定理1内容. * * 运行时, 点击按钮“P16” ,可显示三度的含义. * 例16 ( L.P339例4 ) 精品课程 高等数学 精品课程 精品课程 高等数学 精品课程 高等数学 精品课程 高等数学 精品课程 高等数学 精品课程 高等数学 精品课程 精品课程 精品课程 精品课程 第六节 Green 公式 Gauss 公式 推广 一、高斯公式 *二、沿任意闭曲面的曲面积分为零的条件 三、通量与散度 高斯公式 通量与散度 一、高斯 ( Gauss ) 公式 定理1. 设空间闭区域 ? 由分片光滑的闭曲 ? 上有连续的一阶偏导数 , 下面先证: 函数 P, Q, R 在 面? 所围成, ? 的方向取外侧, 则有 (Gauss 公式) 高斯 目录 上页 下页 返回 结束 证明: 设 为XY型区域 , 则 定理1 目录 上页 下页 返回 结束 所以 若 ? 不是 XY–型区域 , 则可引进辅助面 将其分割成若干个 XY–型区域, 故上式仍成立 . 正反两侧面积分正负抵消, 在辅助面 类似可证 三式相加, 即得所证 Gauss 公式： 定理1 目录 上页 下页 返回 结束 例1. 用Gauss 公式计算 其中? 为柱面 闭域 ? 的整个边界曲面的外侧. 解: 这里 利用Gauss 公式, 得 原式 = (用柱坐标) 及平面 z = 0 , z = 3 所围空间 思考: 若 ? 改为内侧, 结果有何变化? 若 ? 为圆柱侧面(取外侧) , 如何计算? 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例2. 利用Gauss 公式计算积分 其中 ? 为锥面 解: 作辅助面 取上侧 介于 z = 0 及 z = h 之间部分的下侧. 所围区域为?, 则 机动 目录 上页 下页 返回 结束 利用重心公式, 注意 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例3. 设? 为曲面 取上侧, 求 解: 作取下侧的辅助面 用柱坐标 用极坐标 机动 目录 上页 下页 返回 结束 在闭区域 ?上具有一阶和 二阶连续偏导数, 证明格林( Green )第一公式 例4. 设函数 其中 ? 是整个 ? 边界面的外侧. 分析: 高斯公式 机动 目录 上页 下页 返回 结束 证:令 由高斯公式得 移项即得所证公式.(见 P171) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 *二、沿任意闭曲面的曲面积分为零的条件 1. 连通区域的类型 设有空间区域 G , 若 G 内任一闭曲面所围成的区域全属于 G, 则称 G 为空间二维单连通域 ; 若 G 内任一闭曲线总可以张一片全属于 G 的曲面, 则称 G 为空间一维单连通域 . 例如, 球面所围区域 环面所围区域 立方体中挖去一个小球所成的区域 不是二维单连通区域 . 既是一维也是二维单连通区域 ; 是二维但不是一维单连通区域 ; 是一维但 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2. 闭曲面积分为零的充要条件 定理2. 在空间二维单 连通域G内具