d2—4二维随机变量及其概率分布.ppt

第二章 第四节 二维随机变量及其概率分布 一、二维随机变量的概念 二、二维离散型随机变量 三、二维连续型随机变量 　　本节中只讨论二维随机变量的概念及性质，至于更高维随机变量的研究方法及结果与二维随机变量完全类似，可直接由二维随机变量推广而来。 　　在实际问题中，有许多随机试验仅用一个随机变量来描述是不够的，需要用多个随机变量来描述。 一、二维随机变量的概念 定义2.4.1　 设随机试验　的样本空间为　，而　是定义在　上的两个随机变量，则二维向量　　　称为二维随机向量或二维随机变量。 定义2.4.2　 设　　　是二维随机变量，对任意实数　　，称二元函数 为　　　的联合分布函数。 　　联合分布函数的几何意义表示随机点　　　落在以点　　　为顶点的左下方无穷矩形域内的概率. 由联合分布函数的几何意义很容易得出随机点　　 落在一个矩形区域　　　　　　　　　　　　内的概率。 定理2.4.1　 二维随机变量　　　的联合分布函数　　　 的性质: （1）　　　关于　　均是非减函数； (2) （3）　　　关于　　均是右连续函数； （4）对任意　　　，　　　均有 注意到，二维随机变量　　　的分量　与　分别是一维随机变量，通过　　　的联合分布函数　　　可以求出　与　各自的分布函数　　　与　　　。 同理: 称　　　与　　　分别为二维随机变量　　　关于　,关于　的边缘分布函数. 二、二维离散型随机变量 称　　　是二维离散型随机变量。 　　若二维随机变量　　　的全部可能取值只有有 限多对或可列无穷多对　　　　　　　　　　，则 　　称　　　　　　　　　　　　　　　　　为二 维离散型随机变量　　　的联合分布律。 显然联合分布律有如下性质 (1) (2) 　　　的联合分布律通常用以下表格给出： 　　　的联合分布函数　　　　可由上面的联合分布律求出： 其中　　　是对一切满足　　　，　　　的　求和. 由　　　的联合分布律还可求出　与　各自的分布律. 记: 分别称为　　　关于　，关于　的边缘分布律。 在联合分布律的表格中，将每行与每列相加即可得到边缘分布律。 例1：一整数　等可能地在1,2,3, … ,10十个值中取一 个值，设　　　　是能整除　的正整数的个数，　 　　　　是能整除　的素数的个数，试求　与　的 联合分布律。 解： 经逐个验算可得10个整数的　与　的值如下 1　 2　 3　 4　 5　 6　 7　 8　 9　 10 1　 2　 2　 3　 2　 4　 2　 4　 3　 4 0　 1　 1　 1　 1　 2　 1　 1　 1　 2 1　 2　 3　 4　 5　 6　 7　 8　 9　 10 1　 2　 2　 3　 2　 4　 2　 4　 3　 4 0　 1　 1　 1　 1　 2　 1　 1　 1　 2 于是有： 1　　　 2　　　 3　　　 4　 0 1 2 例2：设　　　的联合分布律如下表，试求　　　 关于　及　的边缘分布律。 0　　　 1　　　 4　 1 2 3 5 三、二维连续型随机变量 对任意实数　　都有 定义2.4.1　 设　　　　为二维随机变量　　　的联　 合分布函数，若存在一个非负二元函数　　　　，使 联合概率密度函数。 则称　　　为二维连续型随机变量，并称　　　　为 联合概率密度函数　　　　具有以下性质： (1) ； (2) ； (3)若　　　 在点　　　连续,则 ； (4) 。 性质(4)说明在几何上，　　　落在某平面区域　 中的概率，在数值上就是　　　 在区域　内的二重 积分。 　　　的联合概率密度函数　　　　与　、　各自 的概率密度函数　　　、　　　之间的关系， 由 及 得: 同理可得： 称　　　为　　　关于　的边缘概率密度函数； 称　　　为　　　关于　的边缘概率密度函数。 例3：设　　　的联合概率密度函数为 2、 的边缘概率密度函数； 求:1、 及 ； 3、求　　　的联合分布函数. 解: 1. 1 1 2. 当　　　或　　　时, ， 则 ； 当　　　　时, ； 则 。 同理: 。 3. (i)当　　　或　　　时, ， 则 ； (ii)当　　　　且　　　　时, ； (iii)当　　　　且　　　时, (iv)当　　　且　　　　时, (v)当　　　且　　　时， ； ； ； 综上：