d61多元数量值函数积分的概念和性质.ppt

目录 上页 下页 返回 结束 第六章 一元函数积分学 多元函数积分学 重积分 曲线积分 曲面积分 多元函数积分学及其应用 三、积分存在的条件和性质 第一节 一、引例 二、多元数量值函数积分的概念 多元数量值函数积分的概念与性质 第六章 1. 平面薄片的质量 有一个平面薄片, 在 xOy 平面上占有区域 D , 计算该薄片的质量 M . 度为 设D 的面积为? , 则 若 非常数 , 则可用 其面密 “分, 匀,合, 精” 解决. 1)“分” 用任意曲线网分D 为 n 个小区域 相应把薄片也分为小块 . 一、引例 2)“匀” 中任取一点 3)“合” 4)“精” 则第 k 小块的质量 解法: 类似定积分解决问题的思想: 2.曲顶柱体的体积 给定曲顶柱体: 底： xOy 面上的闭区域 D 顶: 连续曲面 侧面：以 D 的边界为准线 , 母线平行于 z 轴的柱面 求其体积. “分, 匀, 合, 精” 1)“分” 用任意曲线网分D为 n 个区域 以它们为底把曲顶柱体分为 n 个 2)“匀” 在每个 3)“合” 则 中任取一点 小曲顶柱体 4)“精” 令 两个问题的共性： (1) 解决问题的步骤相同 (2) 所求量的结构式相同 “分, 匀, 合,精” 曲顶柱体体积: 平面薄片的质量: 例如: 物体为空间物质块。 一般说来，设有一质量非均匀分布在某一几何形体 上的物体，（这里几何形体可以是直线段、平面或 连续，都可以按照以上四个步骤来计算其质量。 空间区域，一片曲面或一段曲线），密度函数 二、多元数量值函数积分的概念 定义: 抽 象 其 共 性 如果不论 怎样划分，点 怎样选取，极限 都存在，则称f 在 上可积，且 称此极限值为 积分域 被积函数 被积式或 积分微元 即： 注意：当积分域类型不同时，积分的具体表达式 和名称也不相同 (1)当 为区间[a,b]时，M为x，积分为定积分 (2)当 为平面域(σ)时，M为(x, y)，积分为二重积分 d?称为面积微元，在直角坐标系下常写作 引例1中平面薄板的质量: 引例2中曲顶柱体体积: (3)当 为空间域(V)时，M为(x, y, z)，积分为三重积分 称为体积元素, 在直角坐标系下常写作 (4)当 为一条曲线弧段(C)时，积分为对弧长的曲线积分 也称为第一型线积分,其中(C)称为积分路径 (5)当 为一片曲面(S)时，积分为对面积的曲面积分 也称为第一型面积分 三、积分存在的条件和性质 定理1： 上可积。 函数f 在 上可积的必要条件是f 在 上有界。 定理2：若 是紧的且可度量， ，则f 在 Ⅰ、积分存在的条件 复习:定积分的性质 (设所列定积分都存在) ( k 为常数) Ⅱ、积分的性质 6. 若在 [a , b] 上 则 推论1. 若在 [a , b] 上 则 推论2. 7. 设 则 8. 积分中值定理 则至少存在一点 使 积分的性质 设 是紧的、可度量且被积函数可积 1. 线性性质 (2) (1) 2. 对积分域的可加性 3. 积分不等式 4. 中值定理 为一有界连通闭集，则至少存在 一点 例1. 比较下列积分的大小: 其中 解: 积分域 D 的边界为圆周 它在与 x 轴的交点 (1,0) 处与直线 从而 而域 D 位于直线的上方, 故在 D 上 例2. 估计下列积分之值 解: D 的面积为 由于 积分性质5 即: 1.96 ? I ? 2 D 被积函数相同, 且非负, 思考与练习 解: 由它们的积分域范围可知 1. 比较下列积分值的大小关系: 2. 设D 是第二象限的一个有界闭域 , 且 0 y 1, 则 的大小顺序为 ( ) 提示: 因 0 y 1, 故 故在D上有 备用题 1. 估计 的值, 其中 D 为 解: 被积函数 D 的面积 的最大值 的最小值 2. 判断 的正负. 解：当 时， 故 又当 时， 于是 * * * 目录 上页 下页 返回 结束 * * *