d81向量和其线性运算.ppt

数量关系 — 第八章 第一部分 向量代数 第二部分 空间解析几何 在三维空间中: 空间形式 — 点, 线, 面 基本方法 — 坐标法; 向量法 坐标, 方程（组） 空间解析几何与向量代数 四、利用坐标作向量的线性运算 第一节 一、向量的概念 二、向量的线性运算 三、空间直角坐标系 五、向量的模、方向角、投影 机动 目录 上页 下页 返回 结束 向量及其线性运算 第八章 表示法: 向量的模 : 向量的大小, 一、向量的概念 向量: (又称矢量). 既有大小, 又有方向的量称为向量 向径 (矢径): 自由向量: 与起点无关的向量. 起点为原点的向量. 单位向量: 模为 1 的向量, 零向量: 模为 0 的向量, 有向线段 M1 M2 , 或 a , 机动 目录 上页 下页 返回 结束 规定: 零向量与任何向量平行 ; 若向量 a 与 b大小相等, 方向相同, 则称 a 与 b 相等, 记作 a＝b ; 若向量 a 与 b 方向相同或相反, 则称 a 与 b 平行, a∥b ; 与 a 的模相同, 但方向相反的向量称为 a 的负向量, 记作 因平行向量可平移到同一直线上, 故两向量平行又称 两向量共线 . 若 k (≥3)个向量经平移可移到同一平面上 , 则称此 k 个向量共面 . 记作－a ; 机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、向量的线性运算 1. 向量的加法 三角形法则: 平行四边形法则: 运算规律 : 交换律 结合律 三角形法则可推广到多个向量相加 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2. 向量的减法 三角不等式 机动 目录 上页 下页 返回 结束 3. 向量与数的乘法 ? 是一个数 , 规定 : 可见 ? 与 a 的乘积是一个新向量, 记作 总之: 运算律 : 结合律 分配律 因此 机动 目录 上页 下页 返回 结束 定理1. 设 a 为非零向量 , 则 (? 为唯一实数) 证: “ ”. , 取 ?＝± 且 再证数 ? 的唯一性 . 则 a∥b 设 a∥b 取正号, 反向时取负号, , a , b 同向时 则 b 与 ? a 同向, 设又有 b＝? a , 机动 目录 上页 下页 返回 结束 “ ” 则 例1. 设 M 为 解: ABCD 对角线的交点, 已知 b＝? a , b＝0 a , b 同向 a , b 反向 a∥b 机动 目录 上页 下页 返回 结束 Ⅶ Ⅱ Ⅲ Ⅵ Ⅴ Ⅷ Ⅳ 三、空间直角坐标系 由三条互相垂直的数轴按右手规则 组成一个空间直角坐标系. 坐标原点 坐标轴 x轴(横轴) y轴(纵轴) z 轴(竖轴) 过空间一定点 o , 坐标面 卦限(八个) zox面 1. 空间直角坐标系的基本概念 机动 目录 上页 下页 返回 结束 Ⅰ 向径 在直角坐标系下 坐标轴上的点 P, Q , R ; 坐标面上的点 A , B , C 点 M 特殊点的坐标 : 有序数组 (称为点 M 的坐标) 原点 O(0,0,0) ; 机动 目录 上页 下页 返回 结束 坐标轴 : 坐标面 : 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2. 向量的坐标表示 在空间直角坐标系下, 设点 M 则 沿三个坐标轴方向的分向量. 的坐标为 此式称为向量 r 的坐标分解式 , 任意向量 r 可用向径 OM 表示. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 四、利用坐标作向量的线性运算 设 则 平行向量对应坐标成比例: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例2. 求解以向量为未知元的线性方程组 解: ① ② 2×① －3×② , 得 代入②得 机动 目录 上页 下页 返回 结束 五、向量的模、方向角、投影 1. 向量的模与两点间的距离公式 则有 由勾股定理得 因 得两点间的距离公式: 对两点 与 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例5. 在 z 轴上求与两点 等距 解: 设该点为 解得 故所求点为 及 思考: (1) 如何求在 xoy 面上与A , B 等距离之点的轨迹方程? (2) 如何求在空间与A , B 等距离之点的轨迹方程 ? 离的点 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 提示: (1) 设动点为 利用 得 (2) 设动点为 利用 得 且