d71向量和运算点积叉积.ppt

作业 P266 3, 11 , 14, 17, 21 * 运行时, 点击照片可显示牛顿, 莱布尼兹的简介, 并自动返回. 不点击则不显示. 目录 上页 下页 返回 结束 第七章 空间解析几何 一、 空间直角坐标系 二、 向量及其应用 数量积、向量积 Ⅶ Ⅱ Ⅲ Ⅵ Ⅴ Ⅷ Ⅳ 一、空间直角坐标系 由三条互相垂直的数轴按右手规则 组成一个空间直角坐标系. 坐标原点 坐标轴 x轴(横轴) y轴(纵轴) z 轴(竖轴) 过空间一定点 O , 坐标面 卦限(八个) 1. 空间直角坐标系的基本概念 Ⅰ zOx面 在直角坐标系下 向径 坐标轴上的点 P, Q , R ; 坐标面上的点 A , B , C 点 M 特殊点的坐标 : 有序数组 (称为点 M 的坐标) 原点 O(0,0,0) ; 坐标轴 : 坐标面 : 表示法: 向量的模 : 向量的大小, 二、向量及其应用 向量: (又称矢量). 既有大小, 又有方向的量称为向量 自由向量: 与起点无关的向量. 单位向量: 模为 1 的向量, 零向量: 模为 0 的向量, 有向线段 M1 M2 , 或 a , 记作 e 或e . 或 a . (一). 向量的概念 零向量的方向是任意的. 规定: 零向量与任何向量平行 ; 若向量 a 与 b大小相等, 方向相同, 则称 a 与 b 相等, 记作 a＝b ; 若向量 a 与 b 方向相同或相反, 则称 a 与 b 平行, a∥b ; 与 a 的模相同, 但方向相反的向量称为 a 的负向量, 记作 因平行向量可平移到同一直线上, 故两向量平行又称 两向量共线 . 若 k (≥3)个向量经平移可移到同一平面上 , 则称此 k 个向量共面 . 记作－a ; (二). 向量的线性运算 1. 向量的加法 三角形法则: 平行四边形法则: 运算规律 : 交换律 结合律 三角形法则可推广到多个向量相加 . 2. 向量的减法 三角不等式 可见 3. 向量与数的乘法 ? 是一个数 , 规定 : 总之: 运算律 : 结合律 分配律 因此 ? 与 a 的乘积是一个新向量, 记作 设 (? 为唯一实数) a∥b 注： 为非零向量 , 则 a (三). 向量的坐标表示 在空间直角坐标系下, 设点 M 则 沿三个坐标轴方向的分向量, 的坐标为 此式称为向量 r 的坐标分解式 , 任意向量 r 可用向径 OM 表示. 记 利用坐标作向量的线性运算 则 平行向量对应坐标成比例: 设 向量的模、方向角、投影 1. 向量的模与两点间的距离公式 则有 由勾股定理得 因 得两点间的距离公式: 对两点 与 2. 方向角与方向余弦 设有两非零向量 任取空间一点 O , 称 ? =∠AOB (0≤ ?≤ ? ) 为向量 的夹角. 类似可定义向量与轴, 轴与轴的夹角 . 与三坐标轴的夹角? , ? , ? 为其方向角. 方向角的余弦称为其方向余弦. 方向余弦的性质: 3. 向量在轴上的投影 则 a 在轴 u 上的投影为 例如, 在坐标轴上的投影分别为 设 a 与 u 轴正向的夹角为? , , 即 投影的性质 2) 1) (?为实数) 定理1. 的充要条件是 证: 那么由 如果 设A(x1,y1,z1)和B(x2,y2,z3)为两点，均非原点O, 则 x1x2+y1y2+z1z2=0. 为邻边所确定的 平行四边形 所以对角向量 和 长度相同。 即 而 于是有 x1x2+y1y2+z1z2=0. （充分性倒推即可） 为矩形。 (四) 两向量的数量积 1. 定义 设向量 的夹角为? , 称 记作 数量积 (点积) . 记作 故 2. 性质 为两个非零向量, 则有 ? 3. 运算律 (1) 交换律 (2) 结合律 (3) 分配律 事实上, 当 时, 显然成立 ; 4. 数量积的坐标表示 设 则 当 为非零向量时, 由于 两向量的夹角公式 , 得 于是方向余弦为 设 显然 i ={1,0,0}, k ={0,0,1}. j ={0,1,0}, ={x,y,z}. (五) 两向量的向量积 二、三阶行列式 1. 定义 定义 向量 方向 : (叉积) 记作 且符合右手规则 模 : 向量积 , ? ? 称 思考: 右图三角形面积 S＝ 两个向量的向量积 2. 性质 为非零向量, 则 ∥ (4) 分配律 (5) 结合律 (6) i j k × = i j k × = i j k × = i j k 3. 向量积的坐标表示式 设 则 向量积的行列式计算法 例 设A(1,-1,3), B(3, 1,5), C(2, 1,7), 求△ABC的面积。 C B A S△ABC 解： (六) 向量的