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1.5 傅里叶变换的基本性质和有关定理 第一章 线性系统分析 Information Optics School of Physics Material Science 本节给出了傅里叶变换的一些重要性质和有关的定 理． 利用这些性质和定理，只要知道不多几个函数的傅 里叶变换，就能够容易地求出许多其它函数的傅里 叶变换． 这些性质和定理在线性系统分析、信号处理、图像 处理及本课程中经常用到． 1.5 傅里叶变换的基本性质和有关定理 1.5.1 傅里叶变换的基本性质 1. 线性性质(均匀性，叠加性) 　若　　　　　　　　　　， 则： 其中：　　是常数． 　　函数线性组合的傅里叶变换等于各函数傅里叶变换的相应组合． 2. 对称性 若 则 关于傅里叶变换的对称性还有 若 为偶函数，则 也是偶函数. 即：若 ，则 若 为奇函数，则 也是奇函数. 即：若 　，则 3. 迭次傅里叶变换 对　　　 连续作两次二维傅里叶变换,即得其倒立像. 4. 坐标缩放性质 若 则 　a, b为不为零的实常数. 光学上，空域坐标的放大或缩小，导致空间频域中的频谱坐标缩小或放大． 如：孔径的夫琅和费衍射． 5. 平移性 为实常数. 若 则 空域中的平移造成频域中频谱的相移． 光场复振幅不具有平移不变性，但强度具有平移 不变性． 例如：孔径的夫琅和费衍射(加透镜). 6. 体积对应关系 若 则 7. 复共轭函数的傅里叶变换 若 则 若 为实函数，有 则　　　 具有厄米对称性． 1.5.2　傅里叶变换的基本定理 1. 卷积定理(Convolution Theorem) 若 则 即两个函数卷积的FT等于它们的FT的乘积． 两个函数乘积的FT等于它们的FT的卷积． 若 和 表示两幅图像，卷积定理即表示：两图像卷积的频谱等于两图像频谱之积；两图像乘积的频谱等于两图像频谱之卷积． 卷积定理在FT理论及应用中非常重要： 1) 对于一个复杂函数，其FT难求，若它可以表示成几个简单函数的卷积，而这些简单函数的FT易求，则可应用卷积定理． 如： 2) 当两个函数或图像的卷积难求时，可先求得各自的FT，乘积后，再求逆FT，即可得两者之卷积． 如 数字图像处理或数字信号处理中有FFT和IFFT算法和程序； 光学上可用傅里叶变换透镜实现傅里叶变换和逆傅里叶变换功能． 2. 相关定理(Correlation Theorem) (维纳－辛钦定理) (1)　互相关定理(Cross-correlation Theorem) 若 则 ☆ 通常把　　　　　　　称为　　　和　　　的互谱能量密度，简称为互谱密度． 互相关定理表明：两个函数的互相关与其互谱密度构成傅里叶变换对． (2)　自相关定理(Auto-correlation Theorem) 设　　　　　　　　　，则有 ☆ 　　　　为　　　函数的能谱密度． 相关定理常用来求两个函数或图像的相关；当两个函数或图像的相关难求时，可先求得各自的傅里叶变换，将第一个函数的傅里叶变换取复共轭，乘积后，再求逆傅里叶变换，即可得两者之相关．即： ☆ 根据相关的物理意义和特性可知，相关函数具有中心峰值分布．当函数是实函数时，其自相关具有中心对称的峰值分布． 相关定理常常用于信号检测、图像识别． 3. 巴塞伐(Parsaval’s Theorem)定理 若 则 在应用问题中，等号两边的积分都可以表示某种能量．该定理表明，对能量的计算既可以在空域中进行也可以在频域中进行，两者完全等价． 从物理意义上看这是能量守恒的体现，故也称为能量积分定理． 　若　　　　　　　　　　， 4. 广义巴塞伐定理(Generalized Parsaval’s Theorem) 则 5. 导数定理(Derivative Theorem) 　若　　　　　　　　　　 则有 6. 积分定理(一维)(Integral Theorem) 若 则 7. 矩定理(Moment Theorem) 略． 1.5 傅里叶变换的基本性质和有关定理 第一章 线性系统分析 Information Optics School of Physics Material Sci