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第七部分矢量代数与空间解析几何 ? 本章以矢量代数为工具，运用形数结合的方法，研究空间的曲面 和曲线，同时重点研究了平面和直线。 一 基本要求： 1. 正确理解矢量概念，熟练掌握矢量的坐标表示式、其代数运算 及两个矢量相互平行、垂直的条件或其夹角的求法。 2. 平面方程四形式 3. 直线方程四形式 4. 点、直线、平面间的位置关系 5. 平面与平面的位置关系 6. 直线与直线的位置关系 7. 掌握空间曲线及曲面知识；会建立旋转曲面方程及空间曲线在 坐标面上的投影方程。 二 课堂练习: 1. 填空 2. 建立平面或直线方程 第七部分 矢量代数与空间解析几何 矢量 坐标表示 既有大小又有方向的量 模及方向角 方向余弦 一 基本要求 1. 矢量运算及坐标表示 x z y n={A,B,C} M(a,b,d) A(x – a)+B(y – b)+C(z–d)=0 Ax+By+Cz+D=0 b c a (1) 点法式: (2) 一般式 . (3) 截距式： (4) 三点式： 0 其中 D= –Aa – Bb – Cd 2. 平面方程 (1)标准式： S={m,n,p} M(a.,b,c) L S (2) 参数式 : x = a+m t y = b+n t z = c+p t (4) 两点式: A B . (3) 一般式 L . L 3. 直线方程 (1) 点到平面的距离 (3) 直线平行于平面 . (2) 点到直线的距离 M d N l M d l N . 记 . 4. 点、直线、平面的位置关系 （用解析法判断） n s s ? ? (4) 直线在平面内 (5) 直线垂直于平面 (6) 直线与平面的夹角? l l ? l . . . . N 4. 点、直线、平面的位置关系 （用解析法判断） . s s s n n n ? ? ? (1) 两个平面垂直 (2) 两个平面平行 (3) 两个平面重合 已知两个平面 . . 5. 平面与平面的位置关系 (4) 两个平面夹角为? ? (5) 两个平行平面间的距离为d 已知两个平面 d . 5. 平面与平面的位置关系 . ? ?1 ?2 n1 n2 . . 已知两条直线 (1) 两条直线共面 (2) 两条直线的夹角? (3) 两条平行直线的距离d A B d A B . 6. 直线与直线的位置关系 ? . . 1, 2, 3 垂直 . . . . . . . . 二 课堂练习：1. 填空 3 . y + z = 1 . 解： . M 解： l N(2, –3,1) d . . . . . . . (p, q 同号) (p, q 同号) 椭球面 双叶双曲面 二次锥面 单叶双曲面 双曲抛物面 椭圆抛物面 相交 . . . 球面 圆柱面(母线平行于z轴) 两平行平面 两相交平面 原点 z轴 yOz平面 三个坐标面 (16) 指出下列方程表示哪种曲面？ . 平面(平行于x轴) 虚轨迹 虚轨迹 两平行平面 椭圆柱面 双曲柱面 抛物柱面 . 平面 直线 z轴 一点 双曲线 抛物线 两相交直线 (17) 指出下列方程表示哪种图形？ . 2. 建立直线或平面方程. 谢 谢 使 用 返回首页 . L1 解： 2. 解答： M0 1o 过 M0作 L1 的垂面， M0 M 垂面方程为 2o 求出 L1与此平面的交点M： ? . . L = t 解： L1 2. 解答： 1o 过 M0作 L1 的垂面， d L1 L2 ? 方法 I 思路： 1o 过L1做平面 ? ，使 ? // L2. 2o ?点M? L2,,点M 到平面? 的距 离即为d. M (2) 解： . . 先求平面? 的法矢量： 取点M(2,3,–4)? L2,, . n 方法 II 思路： . 解： L1 L2 M N 利用混合积的几何意义： 所求的 d 就是三矢量构成的 平行六面体的高. . . . (2) (3) 思路I： 因为：(1) 它们共面. (2) 它们不平行. ( L2平行于已知平面? ，但显然 L 1 不平行 于? . ) 相交。 问题：L2与 L1 相交吗？ 求直线的一般式方程. ? 2 ?1 ? L1 L2 . M0 具体解答如下： n M1 L1 L2 M0 M1 解： . 思路I： 求直线的一般式方程. s n ? 2 ?1 ? (3) . 思路II： 求直线的标准式方程. L1 从思路 I 的分析知： . . L2 如图： . n ? 2 ?1 ?