li8.1向量和其线性运算.ppt

* 目 录 第八章 空间解析几何与向量代数 第九章 多元函数微分法及其应用 第十章 重积分 第十一章 曲线积分与曲面积分 第十二章 无穷级数 * 第八章 空间解析几何与向量代数 8.1 向量及其线性运算 向量： 既有大小又有方向的量. 向量表示： 模长为1的向量. 零向量： 模长为0的向量. | | 向量的模： 向量的大小. 单位向量： 一、向量的概念 或 或 或 自由向量： 不考虑起点位置的向量. 相等向量： 大小相等且方向相同的向量. 负向量： 大小相等但方向相反的向量. 向径： 空间直角坐标系中任一点 与原点构成的向量. [1] 加法： （平行四边形法则） 特殊地：若 ‖ 分为同向和反向 （平行四边形法则有时也称为三角形法则） 二、向量的加减法与数乘 向量的加法符合下列运算规律： （1）交换律： （2）结合律： （3） [2] 减法 例1 化简 解 例2 试用向量方法证明：对角线互相平分的四边形必是平行四边形. 证 与 平行且相等, 结论得证. [2] 向量与数的乘法 按照向量与数的乘积的规定， 上式表明：一个非零向量除以它的模的结果是一个与原向量同方向的单位向量. 数与向量的乘积符合下列运算规律： （1）结合律： （2）分配律： 两个向量的平行关系 则 已知 b＝? a , b＝0 a , b 同向 a∥b a , b 反向 充分性 证明： 必要性 证 例3 设u轴上的点P1和P2 , 其坐标为u1 和 u2 . 例4 试用向量方法证明：空间四边形相邻各边中点的连线构成平行四边形. 证: 只要证 结论得证. E F G H 练习 证明: 按照向量与数的乘积的定义，有 (2)数轴与向量的关系： 2、说明 ‖ 三个坐标轴的正方 向符合右手法则. 三、空间直角坐标系 Ⅶ 面 面 面 空间直角坐标系共有八个卦限. Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ Ⅴ Ⅵ Ⅷ 各卦限中点的坐标的特点 Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ Ⅴ Ⅵ Ⅶ Ⅷ 一一对应 向量的坐标表示 向径 坐标轴上的点 P, Q , R 坐标面上的点 A , B , C 点 M 特殊点的坐标 : 有序数组 (称为点 M 的坐标) 原点 O ( 0, 0, 0) ; 在直角坐标系下点的坐标 A B C 坐标轴 : 坐标面 : 设 则 平行向量对应坐标成比例: 四、利用坐标作向量的线性运算 解： 例5. 2×① －3×② , 得 代入②得 ① ② 习题 8-1 ( P7): 3