n维向量,线性相关性.ppt

* 所以， ，向量组 线性无关. * 例5 证 * 例6 证 必线性相关。 用矩阵形式， * 有非零解，比如 练习： P121 习题三 * §3.2  * 定义3.1 行向量 列向量 或 * 向量可视为特殊的矩阵, 因此, 向量的相等、加减法、 分量全部为零的向量称为零向量，记为 。 数乘等概念完全与矩阵相同. 则 * 向量的线性运算满足以下八条运算律： (1) a+b=b+a (2) a+(b+g)=(a+b)+g (3) a+0=a (4) a+(-a)= 0 (5) (k+l)a=ka+la (6) k(a+b)=ka+kb (7) (kl)a=k(la) (8) 1a=a 其中a, b, g 都是n维向量, k, l 为实数. * 除了上述八条运算规则，显然还有以下性质： 例1 解 其中 移项规则 故 * 定义3.2 数域F上所有n维向量组成的集合 连同其上定义的加法和数量乘法，称为数域F上的n 维向量空间(vector space). 特别， 表示实数域R 上的n维向量空间. 以后，若无特别说明，涉及的向 量均为 中的向量. 练习： P123 习题三 * §3.3 * 一、线性组合、线性表示 定义3.3 * 例如, b =(2,-1,1), a1=(1,0,0), a2=(0,1,0), a3=(0,0,1), 因为 b = 2a1-a2+a3 , 或者说 b 可由a1,a2,a3 线性表示. 即b 是 a1,a2,a3 的线性组合, ? ? * 称 为n维基本单位向量组。 ? * 对线性方程组 将系数矩阵A分裂成列向量 则方程组改写为 * 定理3.3 n维向量 可由n维向量组 线性表示 n元线性方程组 有解 矩阵 与矩阵 的秩相等. 由此可知： （1）n维向量 可由n维向量组 唯一线 性表示 ； （2）n维向量 可由n维向量组 线性表 示且表示法不唯一 ； （3）n维向量 不能由n维向量组 线性 表示 . * 例1 解 * 例2 * 但表示法不唯一: * 现在讨论两个向量组之间的线性表示问题. 若两向量组 与 可以互相线性 表出,则称它们等价，记为 由定义3.4 不难验证向量组的等价关系具有下列性质： 设(A)，(B)，(C)均为n维向量组，则 反身性 任一维向量组(A) (A). 对称性 若(A) (B)，则(B) (A). 传递性 若(A) (B) ,(B) (C) 则(A) (C). * 设向量组 可由向量组 线性表示为 将上述线性表示式写成矩阵形式： 记矩阵 则上式可写成: （K叫该线性表示的系数矩阵） * 一般地，若矩阵 具有关系 ，则矩阵A 的列向量组可由矩阵B的列向量组线性表示，C为这 一表示的系数矩阵；而矩阵A的行向量组可由矩阵C 的行向量组线性表示，B为这一表示的系数矩阵. 特别，若矩阵C可逆，则矩阵A的列向量组与矩阵 B的列向量组等价；若矩阵B可逆，则矩阵A的行向量 组与矩阵C的行向量组等价. 上述讨论表明： 向量组 可由向量组 线性表示 的充要条件是矩阵方程 有解 其中 定理3.4 向量组 可由向量组 线性表示的充要条件是 ，其中 * 推论3.4 设矩阵