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* Email: yc517922@126.com 图论及其应用 任课教师：杨春 数学科学学院 * 本次课主要内容 (一)、生成树的概念与性质 (二)、生成树的计数 (三)、回路系统简介 * 1、生成树的概念 (一)、生成树的概念与性质 定义1 图G的一个生成子图T如果是树，称它为G的一棵生成树；若T为森林，称它为G的一个生成森林。 生成树的边称为树枝，G中非生成树的边称为弦。 例如： 粗边构成的子图为G的生成树。 图G * 2、生成树的性质 定理1 每个连通图至少包含一棵生成树。 证明：如果连通图G是树，则其本身是一棵生成树； 若连通图G中有圈C，则去掉C中一条边后得到的图仍然是连通的，这样不断去掉G中圈，最后得到一个G的无圈连通子图T，它为G的一棵生成树。 定理1的证明实际上给出了连通图G的生成树的求法，该方法称为破圈法。 利用破圈法，显然也可以求出任意图的一个生成森林。 * 推论 若G是(n, m)连通图，则m≧n-1 连通图G的生成树一般不唯一！ (二)、生成树的计数 1、凯莱递推计数法 凯莱(Cayley 1821—1895): 剑桥大学数学教授，著名代数学家，发表论文数仅次于Erdos ,Euler, Cauchy. 著名成果是1854年定义了抽象群，并且得到著名定理：任意一个群都和一个变换群同构。同时，他也是一名出色的律师，作律师14年期间，发表200多篇数学论文，著名定理也是在该期间发表的。 凯莱生成树递推计数公式是他在1889年建立的。 * 定义2 图G的边e称为被收缩，是指删掉e后，把e的两个端点重合，如此得到的图记为G.e e1 e5 e2 e4 e3 用τ(G)表示G的生成树棵数。 定理2(Cayley) 设e是G的一条边，则有： 证明：对于G的一条边e来说，G的生成树中包含边e的棵数为τ(G.e )，而不包含e的棵数为τ (G-e). * 例1，利用凯莱递推法求下图生成树的棵数。 共8棵生成树。 * 凯莱公式的缺点之一是计算量很大，其次是不能具体指出每棵生成树。 2、关联矩阵计数法 定义3 ：n×m矩阵的一个阶数为min｛n, m｝的子方阵，称为它的一个主子阵；主子阵的行列式称为主子行列式。 显然，当nm时，n×m矩阵 个主子阵。 定理3 设Am是连通图G的基本关联矩阵的主子阵，则Am非奇异的充分必要条件是相应于Am的列的那些边构成G的一棵生成树。 证明：略。 * 该定理给出了求连通图G的所有生成树的方法： (1) 写出G的关联矩阵，进一步写出基本关联矩阵，记住参考点； (2) 找出基本关联矩阵的非奇异主子阵，对每个这样的主子阵，画出相应的生成树。 * 例2，画出下图G的所有不同的生成树。 1 2 3 4 a b c d e G 解：取4为参考点，G的基本关联矩阵为： a b c d e 1 2 3 * 共有10个主子阵，非奇异主子阵8个，它们是： 1 2 3 4 a b d a b d 1 2 3 a b e 1 2 3 1 2 3 4 a b e * a c d 1 2 3 a c e 1 2 3 1 2 3 4 a c d 1 2 3 4 a c e * a d e 1 2 3 b c d 1 2 3 3 1 2 4 a d e 1 2 3 4 b c d * b c e 1 2 3 b d e 1 2 3 1 2 3 4 b c e 1 2 3 4 b d e 注：该方法的优点是不仅指出生成树棵数，而且能绘出所有不同生成树；缺点是找所有非奇异主子阵计算量太大！ * 定理3 (矩阵树定理) 设G是顶点集合为V(G)=｛v1,v2,…,vn｝,的图，设A=(aij)是G的邻接矩阵，C=(cij)是n阶方阵，其中： 3、矩阵树定理 则G的生成树棵数为C的任意一个余子式的值。 说明：(1) 该定理是由物理学家克希荷夫提出的。他于1824年出生于普鲁士的哥尼斯堡。1845年因宣布著名的克希荷夫电流电压定律而闻名，1847年大学毕业时发表了生成树计数文章，给出了矩阵树定理。他的一生主要花在实验物理上。担任过德国柏林数学物理会主席职务。 * (2) 矩阵树定理的证明很复杂，在此略去证明； (3) 定理中的矩阵C又称为图的拉普拉斯矩阵，又可定义为： 其中，D(G)是图的度对角矩阵，即主对角元为对应顶点度数，其余元素为0。A(G)是图的邻接矩阵。 图的拉普拉斯矩阵特征值问题是代数图论或组合矩阵理论的主要研究对象之一。该问题因为在图论、计算机科学、流体力学、量子化学和生物医学中的重要应用而受到学者们的高度重视。研究方法大致有3种：代数方法、几何方法和概率方法。 * 例3 利用矩阵树定理求下图生成树