x10—3向量函数的微分.ppt

第10章向量的数量积和向量积向量函数微分法 知识逻辑关系图 向量函数 向量函数定义 向量函数几何意义 极限定义 导数和微分定义 空间曲线弧微分 极限计算方法 导数和微分运算法则 空间弧长计算公式 导数的几何意义和物理意义 向量函数连续定义 重点：向量函数导数及其几何意义 难点：空间曲线弧微分 设 a =(ax , ay , az) b =(bx , by , bz), 且?为常数 (1) a ? b = (ax ? bx , ay ? by , az ? bz ) (2) ? a = (?ax , ?ay , ?az) (3) (4) 复习： §10-3 向量函数的微分和积分 一、向量函数 1.向量函数定义 连续的向量函数和空间曲线有着密切的联系 2.向量函数的几何意义 向量函数 起点定在O点，当t变化时终点 描绘出图形是一条空间曲线. 直线： r（t）=(x0+at，y0+bt, z0+ct) 摆线： r（t） =( a(t-sint), a(1-cost) ,0) 螺旋线的参数方程 取时间t为参数， 解 让我们欣赏几个向量函数表示的空间曲线 3. 向量函数极限定义 则称向量 r (t)的极限为r0 或称向量 r(t)按模收敛r0 定理 若 则称向量函数在t=t0连续 是连续函数的充分必要条件为： 分量函数 都是数值连续函数 向量函数 例 已知螺旋线 计算 连续 二、?? 向量函数导数与微分 1.定义： 向量函数 在t0处的导数 向量函数 2.向量值函数的导数与微分运算法则 （1 （2 （3 （4） （5） 证（5） 3.注意（1）r’(t)的几何意义 （2）向量函数导数物理意义： 设r(t)为沿空间曲线运动质点位置 t∈ αβ 作为质点开始运动起时间： 例1 求螺旋线 在点（0，2,π/2)处的切线方程 向上飞行，求 （1）滑翔机速度和加速度 （2）滑翔机 t时刻的速率 （3）如果有的话，求滑翔机 的速度正交于加速度的时刻 例3 证明 定长度的向量函数的导向量与r(t)垂直 证明： 如当我们跟踪以原点为中心的球面 上运动的质点时，位置向量有一个 等于球面半径的固定长度，（如图） 运动路径的速度向量 与运动路径相切 例 一质点以常角速度w0 在半径为R的圆上运动， 求其速度与加速度？ 解：r (θ )= (R cos θ , R sin θ，0 ) = - (R cos θ, R sin θ，0）W02 =（-R sinθ, R cos θ，0）W0 y r(θ) θ 0 x z 起点定在O点，当t ∈ [αβ ]变化时终点描绘出图形 是一条空间曲线弧。 三、弧微分 向量函数 弧微分 设 在(a , b)内有连续导数, 其图形为 AB, 弧长 或 平面曲线弧 我们已经得到了弧微分公式 空间曲线 弧微分 例：求螺旋线： r（t） =( cost, sint，t) 0t2π弧的长度 注1： 例 证明： 简证： M 注2设某质点在空间中运动轨道为r(t) :t∈ αβ 其中 t 被看作为质点开始运动起的时间值则： 向上滑行， 求滑翔机的路径的曲线的单位切向量 例（P410）单位向量关于时间参数t的导数模等于向量转动速度（角速度）的大小