二次函数性质和根的分布1.ppt

二次函数的性质及根的分布 　　　　　　　  判别式△＝b2－4ac 　　　△＞0 　　　△＝0 　　　△＜0 　　二次函数　y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图像 一元二次不等式 的解集 ax2＋bx+c=0 (a≠0)的根  　　 ax2＋bx＋c0 (a＞0) 　　 ax2＋bx+c0 (a＞0) 　 　　　 　　 有两相等实根x1＝x2＝- 有两相异实根：x1,2＝ 　x＜x1或x＞x2 　x1＜x＜x2 　空 集 　空 集 　全体实数 　没有实根 所有不等于- 的实数 在已知某些条件求二次函数式的解析式时，常用待定系数法．常见的二次函数的表示形式有（a≠0）： ①标准式：y＝ax2＋bx＋c； ②顶点式：y＝a(x－k)2＋m； ③零点式：y＝a(x―x1)(x―x2).(式中x1、 x2为方程ax2＋bx＋c＝0的二根). 例１ 已知二次函数y＝f(x)有最小值－３，且当x＝－３和x＝２时f(x)的值都是 ，求f(x)． 设f(x)＝ax2＋bx＋c,由题设得 解: a (－３)2 ＋b (－３)＋c＝ a (２)2＋b× 2＋c＝ ＝－３ (a＞０)． ９a－３b＋c＝ ４a＋２b＋c＝ b2－４ac－１２a＝０ 解法一: ∴ f(x)＝２x2＋２x－ ． a=2 解之得 b＝２, c＝－ 解二 ∵ f（－３）＝f（２）＝ ， ∴ 抛物线y＝f(x)的对称轴为x＝ ，即x＝－ ， 故其顶点坐标为（－ ，－３）． 设 f(x)＝a(x＋ )2－３． ∵ f(2)＝a (2＋ )２－３＝ ∴ a＝ ＝２． . ∴ f(x)＝２x2＋２x－ ． 解三 由已知，x＝－３和x＝２是一元二次方程f(x)－ ＝０的两个实数根． 设 f(x)－ ＝a(x＋３)(x－２), 则 f(x)＝a(x＋３)(x－２)＋ ． 又当x＝ ＝－ 时，f(－ )＝－３． ∴ a(－ ＋３)(－ －２)＋ ＝－３， － a＝－ ， a＝２． ∴ f(x)＝２(x＋３)(x－２)＋＝２x2＋２x－ ． -1 例2　已知函数f(x)＝x2－bx＋c，且f(0)＝3，f(1＋x)＝f(1－x)试比较f(2x)与f(3x)的大小。 y x O a b f(x)为二次函数，f(a)=f(b) ? f(x)的对称轴为 f(x)为二次函数，f(c＋x)=f(c - x) ? f(x)的对称轴为x=c y x O 2 3 1 若x0, 若x=0， 则12x3x ∴ f(2x) f(3x) 则12x3x ∴ f(2x) f(3x) 则12x3x， 若x=0， 综上所得，f(2x)≤ f(3x)。 例3　已知二次函数f(x)＝x2＋bx＋c，当x∈[－1，1]时，试证： (1)当b＜－2时，f(x)是递减函数； (2)当b＜－2时，f(x)在定义域内至少存在一个x,使|f(x)|≥1/2成立。 证明：(1)f(x)＝x2＋bx＋c＝(x＋ )2＋c－ ， 抛物线的对称轴x＝－ ， 当 b＜－2时, － ＞1(如图)　∴ 当b＜－2时， f(x),x∈[－1，1]是递减函数。 　　　　　(2)假设在x∈[－1，1]内在存在|f(x)|≥ ，则有－ ＜f(x)＜∴ f(－1)＝1－b＋c＜ ，f(1)＝1＋b＋c＞－ 联立解得b＞－ 与已知b＜－2相矛盾，假设不成立，原命题成立。 设f(x)＝ax2＋bx＋c (a＞０), 则一元二次方程f(x)＝０实根的分布情况可以由y＝f(x)的图象或由韦达定理来确定． 如果f(m) f(n)＜０ (m＜n),由二次函数y＝f(x)的图像知，一元二次方程f(x)＝０在区间（m,n）内必有一个实数根． 例：已知方程x2-2(m+2)x+m2 -1=0有两个不相等的正根，求实数m的取值范围。 变1：已知方程x2-2(m+2)x+m2 -1=0有两个实根都大于2，求实数m的取值范围。 变2：已知方程x2-2(m+2)x+m2 -1=0有两个实根都小于2，求实数m的取值范围。 变3：已知方程x2-2(m+2)x+m2 -1=0有两个实根，一个小于2，另一个大于2，求实数m的取值范围。 变4：已知方程x2-2(m+2)x+m2 -1=0有两个实根，且x1、x2∈(-1,3)，求实数m的取值范围。 变5：已知方程x2-2(m+