2016考研数学考前必：常考公式集锦(线性代数篇)2016考研数学考前必背：常考公式集锦(线性代数篇).doc

Born to win 2016考研数学考前必背：常考公式集锦（线性代数篇） 离考试还有最后几天，跨考教育数学教研室牛老师为考生整理了2016年数学考研考前必背常考公式集锦。希望对考生最后冲刺复习有所帮助。本文内容为线性代数的常考公式汇总。 1、行列式的展开定理 行列式的值等于其任何一行（或列）所有元素与其对应的代数余子式乘积之和，即 推论：行列式的一行（或列）所有元素与另一行（或列）对应元素的代数余子式的乘积之和为零，即 2、设，（注意的列数和的行数相等），定义矩阵，其中，称为矩阵与矩阵的的乘积，记作. 如果矩阵为方阵，则定义为矩阵的次幂. 不成立的运算法则 3、设为阶方阵，为它的伴随矩阵则有. 设为阶方阵，那么当或时，有 4、对单位矩阵实施一次初等变换得到的矩阵称之为初等矩阵.由于初等变换有三种，初等矩阵也就有三种： 交换单位矩阵的第行和第行得到的初等矩阵记作，该矩阵也可以看做交换单位矩阵的第列和第列得到的.如. 将一个非零数乘到单位矩阵的第行得到的初等矩阵记作；该矩阵也可以看做将单位矩阵第列乘以非零数得到的.如. 将单位矩阵的第行的倍加到第行上得到的初等矩阵记作；该矩阵也可以看做将单位矩阵的第列的倍加到第列上得到的.如. 注： 1）初等矩阵都只能是单位矩阵一次初等变换之后得到的. 2）对每个初等矩阵，都要从行和列的两个角度来理解它，这在上面的定义中已经说明了.尤其需要注意初等矩阵看做列变换是将单位矩阵第列的倍加到第列，这一点考生比较容易犯错. 5、矩阵最高阶非零子式的阶数称之为矩阵的秩，记为. 1）； 2）； 3）且各行元素成比例； 4）设为阶矩阵，则. 6、线性表出 设是个维向量，是个常数，则称为向量组的一个线性组合. 设是个维向量，是一个维向量，如果为向量组的一个线性组合，则称向量可以由向量组线性表出. 线性相关 设是个维向量，如果存在不全为零的实数，使得，则称向量组线性相关. 如果向量组不是线性相关的，则称该向量组线性无关. 与线性表出与线性相关性有关的基本定理 定理1：向量组线性相关当且仅当中至少有一个是其余个向量的线性组合. 定理2：若向量组线性相关，则向量组也线性相关. 注：本定理也可以概括为“部分相关整体相关”或等价地“整体无关部分无关”. 定理3：若向量组线性无关，则向量组的延伸组也线性无关. 定理4：已知向量组线性无关，则向量组线性相关当且仅当可以由向量组线性表出. 定理5：阶梯型向量组线性无关. 定理6：若向量组可以由向量组线性表出，且线性无关，则有. 注：本定理在理论上有很重要的意义，是讨论秩和极大线性无关组的基础.定理内容也可以等价的描述为：若向量组可以由向量组线性表出，且，则线性相关. 对于这种描述方式，我们可以把定理内容简单地记为：“多数被少数线性表出，则必相关.” 定理7： 个维向量必然线性相关. 7、线性方程组解的存在性 设，其中为的列向量，则线性方程组有解 向量能由向量组线性表出； ； 线性方程组解的唯一性 当线性方程组有解时，的解不唯一（有无穷多解） 线性方程组的导出组有非零解； 向量组线性相关； ； . 注： 1）注意该定理成立的前提条件是线性方程组有解；也就是说，仅告知是不能得到有无穷多解的，也有可能无解. 2）定理2是按照有无穷多解的等价条件来总结的，请考生据此自行写出有唯一解的条件. 8、特征值和特征向量：设为阶矩阵，是一个数，若存在一个维的非零列向量使得关系式成立.则称是矩阵的特征值，是属于特征值的特征向量. 设为阶单位矩阵，则行列式称为矩阵的特征多项式. 注： 1）要注意：特征向量必须是非零向量； 2）等式也可以写成，因此是齐次线性方程组的解，由于，可知是有非零解的，故；反之，若，那么齐次线性方程组有非零解，可知存在使得，也即. 由上述讨论过程可知：是矩阵的特征值的充要条件是（或），而特征值的特征向量都是齐次线性方程组的非零解. 3）由于是次多项式，可知有个根（包括虚根），也即阶矩阵有个特征值；任一特征值都有无穷多特征向量 9、矩阵的相似对角化 定理1：阶矩阵可相似对角化的充要条件是矩阵存在个线性无关的特征向量.同时，在等式中，对角矩阵的元素为的个特征值，可逆矩阵的列向量为矩阵的个线性无关的特征向量，并且中特征向量的排列顺序与中特征值的排列顺序一致. 推论：设矩阵有个互不相同的特征值，则矩阵可相似对角化. 定理2：阶矩阵可相似对角化的充要条件是对任意特征值，线性无关的特征向量个数都等于的重数. 推论：阶矩阵可相似对角化的充要条件是对任意特征值，的重数. 10、设为实对称矩阵（），则关于的特征值与特征向量，我们有如下的结论： 定理1：的所有特征值均为实数，且的的所有特征向量均为实数. 定理2：属于不同特征值的特征向量必正交. 定理3：