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必威体育精装版2013年中考数学压轴题模拟训练含答案(一)必威体育精装版2013年中考数学压轴题模拟训练含答案(一)
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2013年中考数学压轴题模拟训练(一)
一、如图所示,过点F(0,1)的直线y=kx+b与抛物线交于M(x1,y1)和N(x2,y2)两点(其中x1<0,x2<0).
F
M
N
N1
M1
F1
O
y
x
l
?第22题图
⑴求b的值.
⑵求x1?x2的值
⑶分别过M、N作直线l:y=-1的垂线,垂足分别是M1、N1,判断△M1FN1的形状,并证明你的结论.
⑷对于过点F的任意直线MN,是否存在一条定直线m,使m与以MN为直径的圆相切.如果有,请法度出这条直线m的解析式;如果没有,请说明理由.
答案.解:⑴b=1⑵显然和是方程组的两组解,解方程组消元得,依据“根与系数关系”得=-4
⑶△M1FN1是直角三角形是直角三角形,理由如下:
由题知M1的横坐标为x1,N1的横坐标为x2,设M1N1交y轴于F1,则F1M1?F1N1=-x1?x2=4,而FF1=2,所以F1M1?F1N1=F1F2,另有∠M1F1F=∠FF1N1=90°,易证Rt△M1FF1∽Rt△N1FF1,得∠M1FF1=∠FN1F1,故∠M1FN1=∠M1FF1+∠F1FN1=∠FN1F1+∠F1FN1=90°,所以△M1FN1是直角三角形.
⑷存在,该直线为y=-1.理由如下:
F
M
N
N1
M1
F1
O
y
x
l
?第22题解答用图
P
Q
直线y=-1即为直线M1N1.
如图,设N点横坐标为m,则
二、已知⊙与⊙相交于、两点,点在⊙上,为⊙上一点(不与,,重合),直线与⊙交于另一点。
(1)如图(8),若是⊙的直径,求证:;
(2)如图(9),若是⊙外一点,求证:;
(3)如图(10),若是⊙内一点,判断(2)中的结论是否成立。
答案:证明:(1)如图(一),连接,
∵为⊙的直径 ∴
∴为⊙的直径 ∴在上
又,为的中点
∴△是以为底边的等腰三角形
∴ (3分)
(2)如图(二),连接,并延长交⊙与点,连
∵四边形内接于⊙ ∴
又∵ ∴
∴
又为⊙的直径 ∴
∴ (3分)
(3)如图(三),连接,并延长交⊙与点,连
∵ 又
∴
∴ 又
∴ (3分)
三、已知二次函数
(1)当时,函数值随的增大而减小,求的取值范围。
(2)以抛物线的顶点为一个顶点作该抛物线的内接正三角形(,两点在抛物线上),请问:△的面积是与无关的定值吗?若是,请求出这个定值;若不是,请说明理由。
(3)若抛物线与轴交点的横坐标均为整数,求整数的值。
x
y
0
A
答案:解:(1)∵
∴由题意得, (3分)
(2)根据抛物线和正三角形的对称性,可知轴,设抛物线的对称轴与交于点,则。设
∴
又
∴ ∴
∴,
∴定值 (3分)
x
y
0
A
N
B
M
(3)令,即时,有
由题意,为完全平方数,令
即
∵为整数, ∴的奇偶性相同
∴或
解得或
综合得
四、如图,⊙P与轴相切于坐标原点O(0,0),与轴相交于点A(5,0),过点A的直线AB与轴的正半轴交于点B,与⊙P交于点C.
(1)已知AC=3,求点B的坐标; (4分)
(2)若AC=, D是OB的中点.问:点O、P、C、D四点是否在同一圆上?请说明理由.如果这四点在同一圆上,记这个圆的圆心为,函数的图象经过点,求的值(用含的代数式表示). (4分)
第24题备用图
χ
第24题图
χ
解:
解:(1)解法一:连接OC,∵OA是⊙P的直径,∴OC⊥AB,
在Rt△AOC中,,1分
在 Rt△AOC和Rt△ABO中,∵∠CAO=∠OAB
∴Rt△AOC∽Rt△ABO,····························2分
∴,即, ····················3分
∴ , ∴····················4分
解法二:连接OC,因为OA是⊙P的直径, ∴∠ACO=90°
在Rt△AOC中,AO=5,AC=3,∴OC=4, ············1分
过C作CE⊥OA于点E,则:,
即:,∴,·························2分
∴ ∴,·········3分
设经过A、C两点的直线解析式为:.
把点A(5,0)、代入上式得:
, 解得:,
∴ , ∴点 .·4分
(2)点O、P、C、D四点在同一个圆上,理由如下:
连接C
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