2013全国数学联赛初中数学试题及答案[修改版].doc

2013全国数学联赛 初中数学竞赛试题参考答案 一、选择题 1．设非零实数，，满足则的值为（ ）． （A） （B） （C） （D） 2．已知，，是实常数，关于的一元二次方程有两个非零实根，，则下列关于的一元二次方程中，以，为两个实根的是（ ）． （A） （B） （C） （D） （第3题）3．如图，在Rt△ABC中，已知O是斜边AB的中点，CD⊥AB，垂足为D，DE⊥OC，垂足为E．若AD，DB，CD的长度都是有理数，则线段OD，OE，DE，AC的长度中，不一定是有理数的为（ ）． （第3题） （A）OD （B）OE （C）DE （D）AC （第4题）4．如图，已知△ABC的面积为24，点D在线段AC上，点F在线段BC的延长线上，且，DCFE是平行四边形，则图中阴影部分的面积为（ ）． （第4题） （A）3 （B）4 （C）6 （D）8 5．对于任意实数x，y，z，定义运算“*”为： ， 且，则的值为（ ）． （A） （B） （C） （D） 二、填空题 6．设，b是的小数部分，则的值为 ． （第7题）7．如图，点D，E分别是△ABC的边AC，AB上的点，直线BD与CE交于点F，已知△CDF，△BFE，△BCF的面积分别是3，4，5，则四边形AEFD的面积是 ． （第7题） 8．已知正整数a，b，c满足，，则的最大值为 ． 9．实数a，b，c，d满足：一元二次方程的两根为a，b，一元二次方程的两根为c，d，则所有满足条件的数组为 ． 10．小明某天在文具店做志愿者卖笔，铅笔每支售4元，圆珠笔每支售7元．开始时他有铅笔和圆珠笔共350支，当天虽然笔没有全部卖完，但是他的销售收入恰好是2013元．则他至少卖出了 支圆珠笔． 三、解答题 （第11题）11．如图，抛物线，顶点为E，该抛物线与轴交于A，B两点，与轴交于点C，且OB＝OC＝3OA．直线与轴交于点D． （第11题） 求∠DBC?∠CBE． 12．设△的外心，垂心分别为，若共圆，对于所有的△，求所有可能的度数． 13．设，，是素数，记，当时，，，能否构成三角形的三边长？证明你的结论． 14．如果将正整数M放在正整数m左侧，所得到的新数可被7整除，那么称M为m的“魔术数”（例如，把86放在415的左侧，得到的数86415能被7整除，所以称86为415的魔术数）．求正整数n的最小值，使得存在互不相同的正整数，满足对任意一个正整数m，在中都至少有一个为m的魔术数． 1.【答案】A 【解答】由已知得，故．于是，所以． 2.【答案】B 【解答】由于是关于的一元二次方程，则．因为，，且，所以，且 ，， 于是根据方程根与系数的关系，以，为两个实根的一元二次方程是，即． 3.【答案】D 【解答】（第3题答题）因AD，DB，CD的长度都是有理数，所以，OA＝OB＝OC＝是有理数．于是，OD＝OA－AD是有理数． （第3题答题） 由Rt△DOE∽Rt△COD，知，都是有理数，而AC＝不一定是有理数． 4.【答案】C 【解答】因为DCFE是平行四边形，所以DE//CF，且EF//DC． （第4题答题）连接CE，因为DE//CF，即DE//BF，所以S△DEB = S△DEC， （第4题答题） 因此原来阴影部分的面积等于△ACE的面积． 连接AF，因为EF//CD，即EF//AC，所以S△ACE = S△ACF． 因为，所以S△ABC = 4S△ACF．故阴影部分的面积为6． 5.【答案】C 【解答】设，则 ， 于是． 6.【答案】 【解答】由于，故，因此 7.【答案】 【解答】如图，连接AF，则有： （第7题答题）， （第7题答题） ， 解得，． 所以，四边形AEFD的面积是． 8.【答案】 【解答】由已知，消去c，并整理得 ．由a为正整数及≤66，可得1≤a≤3． 若，则，无正整数解； 若，则，无正整数解； 若，则，于是可解得，． （ = 1 \* roman i）若，则，从而可得； （ = 2 \* roman ii）若，则，从而可得． 综上知的最大值为． 9.【答案】，（为任意实数） 【解答】由韦达定理得 由上式，可知． 若，则，，进而． 若，则，有（为任意实数）． 经检验，数组与（为任意实数）满足条件． 10.【答案】207 【解答】设x，y分别表示已经卖出的铅笔和圆珠笔的支数，则 所以， 于是是整数．又， 所以，故y的最小值为207，此时． 11.【解答】将分别代入，知，D(0，1)，C(0，)， 所以B(3，0)，A(，0)．直线过点B． （第11题答题）将点C(0，)的坐标代入