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松江区2017年高三数学一模试卷松江区2017年高三数学一模试卷
松江区2016学年度第一学期高三期末考试
数 学 试 卷
(满分150分,完卷时间120分钟) 2017.1
一.填空题(本大题满分54分)本大题共有12题,考生必须在答题纸相应编号的空格内直接填写结果,第1~6题每个空格填对得4分,第7~12题每个空格填对得5分,否则一律得零分.
1.设集合,,则 ▲ .
2.已知,是虚数单位,若,则 ▲ .
3.已知函数的图像经过点,则 ▲ .
4.不等式的解集为 ▲ .
5.已知向量, ,则函数的最小正周期为___▲ .
6.里约奥运会游泳小组赛采用抽签方法决定运动员比赛的泳道.在由2名中国运动员和6名外国运动员组成的小组中,2名中国运动员恰好抽在相邻泳道的概率为 ▲ .
7.按下图所示的程序框图运算:若输入,则输出的值是 ▲ .
8.设,若,则 ▲ .
9.已知圆锥底面半径与球的半径都是,如果圆锥的体积与球的体积恰好也相等,那么这个圆锥的侧面积是 ▲ .
10.设是曲线上的点,,则的最大值= ▲ .
11.已知函数,若在其定义域内有3个零点,则实数 ▲ .
12.已知数列满足,,若,且是递增数列、是递减数列,则 ▲ .
二、选择题(本大题满分20分)本大题共有4题,每题有且只有一个正确答案,考生必须在答题纸相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得5分,否则一律得零分.
13.已知,则“”是“”的
充分非必要条件 必要非充分条件
充要条件 既非充分也非必要条件
14.如图,在棱长为1的正方体中,点在截面上,则线段的最小值等于
15.若矩阵满足:且,则这样的互不相等的矩阵共有
2个 6个 8个 10个
16. 解不等式时,可构造函数,由在是减函数,及,可得.用类似的方法可求得不等式的解集为
三.解答题(本大题满分76分)本大题共有5题,解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.
17.(本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分
如图,在正四棱锥中,,是棱的中点.
(1)求证:;
(2)求直线与所成角的余弦???.
18.(本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分
已知函数为实数.
(1)根据的不同取值,讨论函数的奇偶性,并说明理由;
(2)若对任意的 ,都有,求的取值范围.
19.(本题满分14分)
上海市松江区天马山上的“护珠塔”因其倾斜度超过意大利的比萨斜塔而号称“世界第一斜塔”.兴趣小组同学实施如下方案来测量塔的倾斜度和塔高:如图,记O点为塔基、P点为塔尖、点P在地面上的射影为点H.在塔身OP射影所在直线上选点A,使仰角,过O点与OA成的地面上选B点,使仰角(点A、B、O都在同一水平面上),此时测得,A与B之间距离为米.试求:
(1)塔高(即线段PH的长,精确到0.1米);
(2)塔身的倾斜度(即PO与PH的夹角,精确到).
20.(本题满分16分)本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分6分
已知双曲线经过点,两条渐近线的夹角为,直线交双曲线于、两点.
(1)求双曲线的方程;
(2)若过原点,为双曲线上异于、的一点,且直线、的斜率、均存在,求证:为定值;
(3)若过双曲线的右焦点,是否存在轴上的点,使得直线绕点无论怎样转动,都有成立?若存在,求出的坐标;若不存在,请说明理由.
21.(本题满分18分)本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分8分
如果一个数列从第项起,每一项与它前一项的差都大于,则称这个数列为“H型数列” .
(1)若数列为“H型数列”,且,,,求实数的取值范围;
(2)是否存在首项为的等差数列为“H型数列”,且其前项和满足?若存在,请求出的通项公式;若不存在,请说明理由.
(3)已知等比数列的每一项均为正整数,且为“H型数列”,,,当数列不是“H型数列”时,试判断数列是否为“H型数列”,并说明理由.
松江区2016学年度第一学期高三期末考试
数学试卷(参考答案)2017.1
一.填空题(本大题共54分)第1~6题每个空格填对得4分,第7~5题每个空格填对得5分
1. 2. 3. 4. 5. 6.
7. 143 8.11 9. 10.10
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