- 1、本文档共21页,可阅读全部内容。
- 2、有哪些信誉好的足球投注网站(book118)网站文档一经付费(服务费),不意味着购买了该文档的版权,仅供个人/单位学习、研究之用,不得用于商业用途,未经授权,严禁复制、发行、汇编、翻译或者网络传播等,侵权必究。
- 3、本站所有内容均由合作方或网友上传,本站不对文档的完整性、权威性及其观点立场正确性做任何保证或承诺!文档内容仅供研究参考,付费前请自行鉴别。如您付费,意味着您自己接受本站规则且自行承担风险,本站不退款、不进行额外附加服务;查看《如何避免下载的几个坑》。如果您已付费下载过本站文档,您可以点击 这里二次下载。
- 4、如文档侵犯商业秘密、侵犯著作权、侵犯人身权等,请点击“版权申诉”(推荐),也可以打举报电话:400-050-0827(电话支持时间:9:00-18:30)。
查看更多
8.2换元积分法与分部分法8.2换元积分法与分部积分法
《数学分析》教案 第八章 不定积分
PAGE
PAGE 21
§8.2 换元积分法与分部积分法
教学目标:掌握第一、二换元积分法与分部积分法.
教学内容:第一、二换元积分法;分部积分法.
基本要求:熟练掌握第一、二换元积分法与分部积分法.
教学建议:
(1) 布置足量的有关换元积分法与分部积分法的计算题.
(2) 总结分部积分法的几种形式:升幂法,降幂法和循环法.
教学过程:
一、第一类换元法 ——凑微分法:
有一些不定积分,将积分变量进行适当的变换后,就可利用基本积分表求出积分。例如,求不定积分,如果凑上一个常数因子2,使成为
令则上述右端积分
然后再代回原来的积分变量,就求得原不定积分
更一般的,若函数是函数的一个原函数,是可微函数,
并且复合运算有意义,根据复合函数求导法则
?????
及不定积分的定义,有
????????????
由于??????????
从而???????? ???????????????????(1)
综上所述,可得如下结论
定理8.4:(第一换元积分法) 设是连续函数,是的一个原函数。又若连续可微,并且复合运算有意义,则
??????????????? (2)
第一换元积分公式(2)说明如果一个不定积分的被积表达式能够写成的形式,可通过变量代换把被积表达式等同于,若不定积分
???
容易求得,那么再将代入,便求出原不定积分
由于第一换元积分法的基本手段就是将被积表达式变为
的形式。也就是把被积函数分解成两个因子的乘积,其中一个因子与凑成某一函数的微分,而另一因子是的函数,且经过这样的微分变形后被积表达式变为容易积分的形式,所以人们也经常称第一换元积分法为“凑微分法”。凑微分法技巧性强,无一般规律可循,因而不易掌握,初学者只有多做练习,不断总结经验,才能运用自如。
凑微分法1:
例1、利用,求下列积分
,令有
再将代入,有
令,有
再将代入,
有
令
再将代入,有
如果运算比较熟练,为了简化解题步骤,变量代换可以不写出来,只需默记在头脑中就可以了。
凑微分法2、 . 特别地, 有
和 .
例2、利用
,
求下列积分
=
解:(4)
例3、若被积函数利用,有如下公式
求下列积分
以上3例都是直接利用“凑微分法”求不定积分。如果进一步把“凑微分法”与不定积分的运算性质结合起来,就可以利用基本积分表来处理非常广泛的初等函数的积分。
例4、将下列被积函数先作代数恒等变形再求其不定积分
=
=
凑微分法3:
例5、对于与形式的积分,当是偶数时,可利用三角恒等式
来降低三角函数的幂,当是奇数时,变正(余)弦函数的积分为余(正)弦函数的积分。
=
=
例6、 对于形式的积分,可利用三角函数的积化和差公式
=
例7、根据
=
例8、
=
凑微分法4: .
例9、
凑微分法5 :
例10、
凑微分法6:
.
例11、
.
其他凑法举例:
例12、 .
例13、
例14
.
例15、 .
例16、 .
例17、
例18、 .
以上例子大都采用了初等数学(代数或三角函数)中的运算技巧将被积函数进行适当的变形,然后再进行变量带换。因此在作积分运算时,应该重视有关初等数学知识的灵活运用。
习题:P188—189 1(1)~(24);
二、第二类换元法
从积分 出发,从两个方向用凑微法计算,即
= =
在式(1)中,如果
容易求得,并且,则式(2)右端的不定积分。利用这个过程求不定积分的方法,称为第二换元积分法。
第二换元积分法可以确切的叙述如下。
定理8.5(第二换元积分法):设是连续函数,是连续可微函数,且定号,复合运算有意义。设是的一个原函数,即??
则??? =??????????? (3)
其中。
证明:有定理假设定号,,故函数存在反函数,又
?????? ????
于是
=
可见是式(3)左端不定积分的被积函数的一个原函数,所以式(
文档评论(0)