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《三角形内角和定理的证》《三角形内角和定理的证明》
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《三角形内角和定理的证明》教学设计
任丘市西环路中学 李薇
一、课题:三角形内角和定理
二、教材:冀教版数学八年级下册第二十四章第五节
三、学习目标:
1、知识与技能目标:掌握三角形内角和定理的证明及简单应用。
2、过程与方法目标:经历利用剪拼三角形验证三角形内角和定理探索证明思路的过程,初步领会辅助线在证明中的作用。
3、情感态度与价值观目标:通过多角度探索证明思路,体会思维的多向性。
四、教材分析
1、内容分析
三角形内角和定理是“空间与图形”中的一个很重要的定理。
(1)它为以后学习多边形内角和定理奠定基础。
(2)实际生活、生产中有广泛的应用。
(3)是求角度的有力工具(有时非它不可)。
2、学情分析:
(1)学生已经在小学和七年级的时候接触过三角形内角和定理,并且进行了猜想与验证及口头说理过??。这为证明三角形内角和定理提供了认知基础。
(2)从学生的学习动机与需要上看,他们有探究新事物的欲望和好奇心,这为探究三角形内角和定理的证明策略及方法提供了情感保障。
(3)学生在学习三角形内角和定理的证明过程中,其认知顺序可能是建构型的。平行线是其原有知识储备的主要图式,他们利用原有图式完全可以同化三角形内角和定理。
3、障碍预测:
辅助线的作法是学生在几何证明过程中第一次接触,并且辅助线的添法没有统一的规律,要根据需要而定,另外本节课开始将训练学生把几何命题翻译为几何符号语言,这对学生来说都有一定接受难度。
五、教学重点、难点
重点:三角形的内角和定理的证明及其简单应用。
难点:三角形内角和定理的证明及辅助线的添加。
六、教学方法:
实验操作法 ,讨论法 小组的合作与交流
七、教学过程
(一)知识回顾,积累经验
1、平行线的判定:
2、平行线的性质:
3、证明一个文字命题的一般步骤:
(二)情景再现,导入新课
我们知道三角形的内角和等于180°,你们还记得这个结论的探索过程吗?
引导学生用准备好的三角形硬纸片剪纸拼图,把∠A剪下放在∠1位置上,∠B剪下放在∠2位置上,拼成一个平角,由此得到三角形的内角和是180°(多媒体展示剪纸拼图过程)。
(三)活用化归,证明定理
这只是实验得出的命题,不能当做定理,那么如何证明此命题是真命题呢?当时我们是把∠A移到了∠1的位置,如果不实际移动∠A,你有什么方法可以达到同样的效果?能否用学过的旧知识作平行线,利用平行线的性质来证明呢?
教师引导,要证三角形三个内角和是180°,能不能象前面那样,把这三个角拼在一起呢?拼成什么样的角呢?(学生思考与180°有关的角后回答,可拼成:①平角,②两平行线间的同旁内角。)要把三角形三个内角转化为这两种角,就要在原图形上添加一些线,这些线叫做辅助线,在平面几何里,辅助线常画成虚线,添辅助线是解决问题的重要思想方法。如何把三个角转化为平角或两平行线间的同旁内角呢?下面同学们利用准备好的三角形纸片拼一拼,画一画。(用尽可能多的方法)
学生通过自主探究,可以得出以下几种辅助线的作法:
C
A
B
E
A
A
B
B
C
(1)CAB型
1
2
D
C
A
B
D
E
(2)CBA型
B
B
A
C
A
A
A
B
B
C
(3)BCA型
A
B
C
D
E
(4)B(CA)型
A
B
C
D
B
AC
A
A
B
C
A
B
CB
A
D
C
A
A
C
B
A
根据以上几种辅助线的作法,选择第一种,师生合作,写出示范性证明过程。
老师提出这是一个文字命题,证明时需要先干什么呢?
C
A
B
D
E
学生回答需要先画图形,根据命题的条件和结论写出已知、求证。
已知:如图,△ABC.
求证:∠A+∠B+∠C=180°.
(多媒体展示辅助线的添法及证明
的过程,考查学生说理的依据)
证明:作BC的延长线CD,过点C作射线CE∥AB.则
∠ACE=∠A(两直线平行,内错角相等)
∠ECD=∠B(两直线平行,同位角相等)
∵ ∠ACB+∠ACE+∠ECD=180°(1平角=180°)
∴ ∠A+∠B+∠ACB=180°(等量代换)
即:∠A+∠B+∠C=180°
我们选择了一种方法来证明三角形内角和定理,那么你们能写出其他的方法的证明过程吗?
教师展示其他添加辅助线的方法 【BCA型B(CA)型】由学生自主完成证明过程后展示并评价书写格式及符号语言的应用。
(四)开启智慧,分组探究
除了以上的方法,你还有新的证法吗?
1、组织学生分组讨论:有了上面的知识作为铺垫,我们可以开展探究活动了,看哪组最先找到解决办法,找到的方法最多。
2、在学生开展探究的过程中,教师参与其中,对个别感到困难的小组可以进行适当的提示和引导。
3、教师指导学生添加辅助线,给出完整的“三角形内角和定
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