[名校联盟]空间向量数量积运算21.ppt

导入新课;1.平面向量数量积的定义;2.平面向量的数量积的主要性质 设a，b是两个非零向量 （1）a⊥b a×b=0数量积为零是判定两非零向量垂直的充要条件; （2）当a与b同向时, a·b=|a|·|b|;当a与b反向时, a·b=-|a|·|b|;特别地， 用于计算向量的模; （3） 用于计算向量的夹角.;3.平面向量数量积满足的运算律 （1）交换律: （2）对数乘的结合律: （3）分配律:; 问题: 如图,线段AB,BD在平面α内，BD⊥AB，AC⊥ α ，AB=a，BD=b，AC=c,求C,D之间的距离以及异面直线CD与AB所成的角θ的余弦值.;3.1.3空间向量的数量积运算;知识要点; 范围:0≤〈a，b〉≤π在这个规定下，两个向量的夹角就被唯一确定了，并且〈a，b〉= 〈b，a〉.; 2. 空间向量数量积的定义 设OA=a，则有向线段OA的长度叫做向量a的长度或模，记作: | a | 已知空间两个非零向量 ， 则 叫做 的数量积，记作 , 即; （1）两个向量的数量积是数量，而不是向量. 　 （2）规定:零向量与任意向量的数量积等于零. （3）;3.空间向量数量积的运算律;思考！; 若m、n是平面α内的两条相交直线，且l⊥m， l⊥n. 则l ⊥α.; 已知m,n是平面?内的两条相交直线，直线l与?的交点为B，且l⊥m，l⊥n， 求证：l⊥? .; 分析：由定义可知，只需证l与平面内任意直线g垂直. 要证l与g垂直，只需证l·g＝0 而m，n不平行，由共面向量定理知，存在唯一的有序实数对(x,y)使得 g=xm+yn 要证l·g＝0,只需l· g= xl·m+yl·n=0 而l·m＝0 ，l·n＝0 故 l·g＝0; 在?内作不与m、n重合的任一条直线g,在l、m、n、g上取非零向量l、m、n、g，因m与n相交，得向量m、n不平行. 由共面向量定理可知，存在唯一的有序实数对（x，y），使 g=xm+yn, l·g=xl·m+yl·n;∵ l·m=0, l·n=0 ∴ l·g=0 ∴ l⊥g ∴ l⊥g 这就证明了直线l垂直于平面?内的任一条直线，所以l⊥? .;例题2;证明; 已知：在空间四边形OABC中，OA⊥BC，OB⊥AC，求证：OC⊥AB.;A;课堂小结; 5. 通过学习,体会到我们可以利用向量数量积解???立体几何中的以下问题 （1）证明两直线垂直; （2）求两点之间的距离或线段长度; （3）证明线面垂直; （4）求两直线所成角的余弦值等等.;高考链接;解析：如图，已知正六边形P1P2P3P4P5P6，设边长 则 ∠P2P1P3=π/6,; （1）已知向量a，b满足| a |=1，| b |=2，|a - b|=3，则|a + b|=_________.;方法二:由|a –b|2=| a |2 - 2a·b + | b |2 带入求得a·b=-2. ∴|a + b|2=| a |2+2a·b+| b |2 得 |a+b|=1 方法三:数形结合法，发现形的特殊性.; （2）已知 则a，b所成的夹角为_______.; 2.选择 设a，b，c是任意的非零空间向量，且相互不共线，则： ①(a·b)c-(c·a)b=0 ②|a|-|b||a-b| ③(b·c)a-(c·a)b不与c垂直 ④(3a+2b)·(3a-2b)=9|a|2-4|b|2 中，真命题是（ ） A. ①② B. ②③ C. ③④ D. ②④; 3.解答题 如图，在平行六面体ABCD-A’B’C’D’ 中，E,F,G分别是A’D’，D’D，D’C’的中点，请选择恰当的基底向量证明：;证明;②;习题