同济第七版高等数学总复习资料.ppt

（2）对坐标（第二类） 2．曲面积分的计算（化为二重积分） （2）对坐标（第二类）的曲面积分 特别, 当区域内部最值存在, 且只有一个极值点P 时, 为极小值 为最小值 (大) (大) 求二元函数在闭区域D上的最值,往往比较复杂.但如果根据问题的实际意义,知道函数在D内存在最值,又知函数在D内可微,且只有唯一驻点,则该点处的函数值就是所求的最值. ★函数的最值应用问题的解题步骤： 第二步 判别 ? 比较驻点及边界点上函数值的大小 ? 根据问题的实际意义确定最值 第一步 找目标函数,确定定义域(及约束条件) （4）条件极值：对自变量有附加条件的极值． 则 （ ） 处连续； 例 设 处的两个偏导数都存在， (3) ２、二重积分的几何意义 当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积． 当被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积的负值． 当被积函数有正有负时，二重积分是柱体体积的代数和. 1、二重积分的定义 第十章 3、二重积分的计算 ［X－型］ X-型区域的特点： 穿过区域且平行于y轴的直线与区域边界相交不多于两个交点. （１）直角坐标系下　 Y型区域的特点：穿过区域且平行于x轴的直线与区域边界相交不多于两个交点. ［Y－型］ 求二重积分的方法步骤: 1.作图求交点； 2.选择积分次序； 4.计算.(先内积分后外积分;计算内积分时把 在累次积分不易积或不能积时,应考虑交换积分次序. (把D写成不等式形式)； 外积分变量看成常数) 3.确定积分限 1、选择积分次序 (1)首先被积函数要易积分，能积分； (2)积分区域D尽量少分块. 2、确定积分限 计算二重积分的两个关键： 内限—平行线穿越法. 外限— 投影法； （2）极坐标系下　 2、定限方法 内限（ 的限）——射线穿越法. 外限（ 的限）——看 夹在那两条射线之间； 利用极坐标计算二重积分应注意： 积分次序——先ρ后 1、 何时用极坐标？ 1、当积分区域为圆域或其一部分时 ； 2、被积函数中含有 或 时. 3、用直角坐标求不出的积分. 4、二重积分的应用 (1) 体积 设S曲面的方程为： 曲面S的面积为 (2) 曲面积 设 上连续， 曲顶柱体 顶——被积函数； 底——积分区域. (3)求质量 6、三重积分的几何意义 7、三重积分的性质 类似于二重积分的性质． 5、三重积分的定义 8、三重积分的计算 (１) 直角坐标 （截面法） （先一后二法） (２) 柱面坐标 积分次序： 定限方法 内限—平行线穿越法； 外积分区域—投影法. （ 可用极坐标计算时的定限法） 9、三重积分的应用 (3) 质心 (1)求体积 (2)求质量 弧微分 设L： （1）对弧长（第一类） 1.曲线积分的计算——化为定积分计算 第十一章曲线、曲面积分 设L： 有方向 若 （1）对面积（第一类）的曲面积分 向xoy面的投影为 则 投影 投影 若 上侧，则 若 下侧，则 有方向 3.格林公式 ---- 平面上曲线积分与二重积分的关系 4.曲线积分与路径无关的条件 L取正向. 以及等价关系. 设有界闭区域D由分段光滑的曲线L围成, 5.高斯公式 —— 曲面积分与三重积分的关系 5.平面 [1] 平面的点法式方程 [2] 平面的一般方程 [3] 平面的截距式方程 [4] 平面的夹角 [5] 两平面位置特征： // 重合 6.空间直线 [1] 空间直线的一般方程 [3] 空间直线的参数方程 [2] 空间直线的对称式方程 直线 直线 ^ 两直线的夹角公式 [4] 两直线的夹角 [5] 两直线的位置关系： // [6] 直线与平面的夹角 // 直线与平面的夹角公式 [7] 直线与平面的位置关系 // [8]点到平面距离公式 比较中学所学的点到直线的距离公式: 6.平面束 定义:通过两相交平面交线的所有平面称为由这两个平面确定的平面束. 设平面 1、偏导数概念 第九章 多元函数微分法及其应用 2、全微分公式 用定义证明可微与不可微的方法 可微 不可微 多元函数连续、可导、可微的关系 函数可微 函数连续 偏导数连续 函数可导 有极限 3、关系 4、多元复合函数求导法则 定理1 若函数 在点 处偏导连续, 在点 t 可导, 则复合函数 且有链式法则 中间变量均为一元函数的情形 在点t处可导，