同济-高等数学-第三版(3.6)第六节函数图形的描绘资料.ppt

中国药科大学 数学教研室 杨访;; 例如，对于函数 由于 ，故直线 x = 1 是曲线 的一条铅直渐近线。 又如，对于函数 f( x )= ln x . 由于 ，故直线 x = 0 是曲线 f( x )= ln x 的一条铅直渐近线。 由定义可知，曲线 y = f( x ) 的铅直渐近线 x = x 0 对应于函 数 y = f( x )的无穷间断点。 　; 设有函数 y = f( x )，若 ，则称水平直 线 y = A 为曲线 y = f( x )的一条水平渐近线。 ; 例如，对于函数 由于 ，故直线 y = 1 是曲线 的一条水平渐近线。 又如，对于函数 f( x )= arctan x . 由于 ，故两条直线 x = ?? /2 都是曲线 f( x )= arctan x 的铅直渐近线。 由定义可知，曲线 y = f( x ) 存在水平渐近线 y = A 对应于函数 f( x )当x → ?? 时有极限的情形。　;; 利用导数描绘函数图形的一般步骤如下： 确定函数 y = f( x )的定义域及函数的某些特征(如 奇偶性、周期性等)，求出函数的一阶导数 f ?( x )和二 阶导数 f ?( x ). 确定 f ?( x )和 f ?( x )在定义域内的全部零点，并求 出函数 f( x )的间断点及 f ?( x )和 f ?( x )不存在的点， 用这些点将函数定义域划分成几个部分区间。; 确定在这些部分区间内 f ?( x )和 f ?( x )的符号，并 由此确定函数图形的升降和凹凸，极值点和拐点。 确定函数图形的水平、铅直及斜渐近线以及及其它 变化趋势。 求出方程 f ?( x )= 0 和 f ?( x )= 0 的根所对应的函 数值，定出图形上相应的点。为将图形作得尽可能准 确，有时还需根据具体情况补充一些相应的点。 联结这些点作出函数的 y = f( x )图形。;例：作出函数 y = x 3 - x 2 - x + 1 的图形。 给定函数 y = f( x )的定义域为( - ?,+ ? ). f ?( x )= 3 x 2 - 2 x - 1 =( 3 x + 1 )( x - 1 )， f ?( x )= 6 x - 2 = 2( 3 x - 1 ). 令: f ?( x )=( 3 x + 1 )( x - 1 )= 0，解得 x = -1/3 和 1； 令: f ?( x )= 2( 3 x - 1 )= 0，解得 x = 1/3 .; 讨论曲线的渐近线 ; 列表讨??函数性状 ; 选点 ; 于是求得函数 f( x )= x 3 - x 2 - x + 1 图形上的三个点 由于仅依据这三个点还不能较准确地作出该函数的 图形，为此再补充一些点。 例如：求出 f( -1 )= 0， 求得曲线与 x 轴的交点( -1,0 )，其它的点;