数值分析12(插值方法1)资料.ppt

插值的应用背景 拉格朗日插值公式 牛顿插值公式 插值误差余项 Runge反例;趣例1: 图像放大 ;趣例2: 工业设计;趣例3: 数据可视化;趣例4: 游戏与电影;Demo1: figure(position,get(0,screensize)) axes(position,[0 0 1 1]) [x,y] = ginput; n = length(x); s = (1:n); t = (1:.05:n); u = splinetx(s,x,t); v = splinetx(s,y,t); clf reset plot(x,y,.,u,v,-);;数据和插值函数 ;插值问题研究包括如下三个方面:;;*;*; 选择多项式函数的理由: 理论方面多项式函数简单明了的数学性质。有一个简单的原理可以说明什么时候存在给定次数的插值多项式。 更重要的是计算方面多项式函数是计算机最基本的函数, 计算多项式函数的值只需用加和乘运算, 且积分和微分均非常方便。;则称 P(x) 为 插值多项式, 称 x0, x1, ···, xn为 插值节点。 ;点,则满足插值条件 L(xk)= yk (k = 0,1,…,n)的 次数小于等于n次的插值多项式 L(x)=a0 + a1x +…+ anxn 存在而且唯一。;回顾1:非齐次方程组有唯一解的充分必要条件是系数矩阵可逆(矩阵可逆的充分必要条件是行列式不等于零)。;注释:;;记;二次插值问题;二次插值函数: L(x)=l0(x)y0+l1(x)y1+l2(x)y2，;二次插值基函数图形;拉格朗日插值公式;例1求插值于点(0,2),(1,1),(2,0),(3,-1)的次数小于等于3的插值多项式的拉格朗日形式。;例2求插值于点(-2,-56),(-1,-16),(0,-2),(1,-2),(3,4)的次数小于等于4的插值多项式拉格朗日形式。;程序片段1:;Demo2 x=0:3; y=[-5 -6 -1 16]; u=-.25:.01:3.25; v=polyinterp(x,y,u); plot(x,y,o,u,v,-) symx=sym(x),L=polyinterp(x,y,symx); L=simplify(L);; 拉格朗日形式结构紧凑且形式对称。然而很少用它来计算, 这是因为等价的牛顿形式更具操作性而且计算复杂度更低。;给定x0, x1和 x2,求二次函数 P(x)=a0 + a1(x – x0) + a2 (x – x0)(x – x1) 满足条件 P(x0)=f(x0), P(x1)=f(x1), P(x2)=f(x2) ;解下三角方程组过程中引入符号;定义5.3 若已知函数 f(x) 在点 x0,x1,···,xn 处的值 f(x0), f(x1), ···, f(xn)。如果 i ≠ j ,则;更加一般地考虑;例3 已知数据如下表, 试计算数据的差商。;例2求插值于点(-2,-56),(-1,-16),(0,-2),(1,-2),(3,4)的次数小???等于4的插值多项式拉格朗日形式。;例4 已知数据如下表, 试计算数据的插值多项式。;例5 已知数据如下表, 试计算数据的插值多项式。;差商的性质;压缩的概念:;两点线性插值;Rolle过山车:;回顾: 拉格朗日中值定理;Ln(x)是满足Ln(xk)= f(xk) 的n次插值多项式, 则对任何x∈[a, b], 在(a, b)内存在一点 使得;证明: 记 ?n+1(x) =(x – x0)··· (x – xn);注释: ;例1 给出如下数据;例2 设 y = f(x) 在区间 [a, b]上连续,且 f (x) 在 (a, b)内具有2阶导数,已知f (x)在区间端点处的值。如果当x∈ (a, b)时有|f (x)|≤M。证明;Runge反例 (rungeinterp) f(x)=1/(x^2+1), (-5=x=5);Interploation (内插);插值方法具有预测性吗？