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不定积分学习指导书不定分学习指导书
第?章 定积分
一、本章知识结构
不定积分
不定积分的概念
不定积分性质
不定积分的计算
二、本章学法指导
定积分的学习要点在于把握不定积分的概念,认识到不定积分与微分之间的联系。
三、本章教学目标
知识目标:理解不定积分的概念、性质、几何意义;理解不定积分与微分的关系;
能力目标:会用不定积分的换元法与分部积分法求不定积分;
四、重点难点指导
1.重点 不定积分的概念的理解;不定积分与微分的关系的理解;三类积分法的运用;
2.难点 换元积分法与分步积分法的运用。
例1 求下列不定积分:
⑴; ⑵;
⑶; ⑷.
分析: 此类积分形式比较简单,只需经过三角恒等变形或代数运算,就可利用基本公式求解。
解
⑴
⑵
⑶
⑷
例2 计算.
分析: 被积函数是绝对值函数或分段函数,求其不定积分,应先分别求函数在各段上相应区间内的不定积分,然后利用原函数的连续性,确定各任意常数间的关系,最后用一个任意常数表示其不定积分。
解 因为
于是
由被积函数的连续性,有,即,所以
例3 求下列不定积分:
⑴; ⑵;
⑶; ⑷;
⑸; ⑹.
分析: 使用第一类换元法的关键是“凑”出函数的微分,方法是利用一些常见函数的微分形式。但如果不易直接得到,则可应用拆项、加项、减项、同乘除因子、三角恒等变形等方法将被积函数变形,化简成简单函数后再求不定积分;也可以从被积函数中取出部分表达式,求其导数后寻找规律,再确定如何凑微分。
解 ⑴注意到,且,所以
⑵降幂法与化同名三角函数是求解形如形式不定积分的基本方法。一般地,若两个函数都是偶次幂,则通过半角公式降幂;若至少有一个函数为奇次幂,则将奇次幂分为一次幂与偶次幂的乘积,化为同名三角函数求解。对本题,由于是奇次幂,且,故原积分可以化成形式,所以
.
⑶将被积函数分成两部分,第一项凑微分得,第二项凑微分得,则
.
⑷这是一个有理函数的积分,但将被积函数分解为部分分式很麻烦,若将分子的1写成,再加一个因式,同时减去该因式,可与分母的两项联系起来;若注意到分母次数高于分子次数,作倒代换,也可简化被积表达式。
方法1
.
方法2 令,则
⑸本题分母有两项,对分子分母同乘一个因子,可将分母化成单项;也可以用倍角公式将分母化为单项。
方法1 =
.
方法2
.
⑹因为,即,所以
.
3.第二类换元积分法
例4 求下列不定积分:
⑴; ⑵;
⑶; ⑷;
⑸; ⑹.
分析: 有些不定积分,不能通过凑微分利用基本公式求解,但可利用变量代换转化积分形式后利用基本积分公式求解。常用的代换方法有:
⑴三角代换与双曲代换。这类代换针对某些特殊的无理根式,如对⑴题作代换或可消去根式。注意作三角代换后应利用辅助三角形进行变量还原。
⑵根式代换。对某些含有根式的被积函数,通过根式代换可将其转化为有理函数积分,方法是取同形根式中方幂的最小公倍数作为代换形式。如对⑶题作代换.
⑶指数代换。当被积函数中含有指数函数时,用代换可转化积分形式,但常常需要配合其他变换。
⑷倒代换.如果分别表示被积式中分子分母变量的最高次数,则当时,用倒代换较简。
解 ⑴方法1 令,则
方法2 由被积函数的特点,作倒代换,则
.
⑵方法1 该被积表达式带有根号,作变量代换,先去掉根号。令 =t,则x=,
.
方法2 将被积函数分子有理化,再令,则
.
⑶为去掉被积函数中的根号,令,则
.
⑷方法1 被积式中含有指数函数,令,则
,
再令,于是
.
方法2 第二类换元积分法主要是去掉根式,为此令,则
.
方法3 变量代换往往不惟一,令,则
.
⑸注意到分母中的次幂高于分子中的次幂,令,则
.
⑹对第二类换元积分法,除了常用代换外,有时根据被积函数特点采用特殊
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