第03讲 有理数的运算w第03讲 有理数的运算w.doc

第3讲 有理数的运算 知识方法扫描 在初中数学学习的开始阶段，由相反意义的量引入了负数的概念，将我们所学习过的数推广到了有理数。 有理数运算是中学数学中一切运算的基础。它不仅要求同学们在理解有理数的有关概念和运算法则的基础上，能根据法则、公式等正确、迅速地进行运算；还要善于根据题目条件，选择合理而又简捷的算法来解决问题，从而提高运算的速度和准确性。 经典例题解析 例1 （1994-1995学年度广州、武汉、重庆、福州、洛阳初一数学联赛试题） 计算 1-2+3-4+…+1993-1994= . 解1 原式 =（1-2）+（3-4）+…+（1993-1994） = （-1）+（-1）+ …+（-1） = -997 解2 原式=(1+2+3+4+…+1993+1994)-2×(2+4+…+1994) = (1+2+3+4+…+1993+1994)-4×(1+2+…+997) = = 1995×997-1996×997 = -997 评注 在有理数的运算中，可以根据运算法则和运算律，去掉或者添上括号，以此来改变运算的次序，找出其中的规律，使复杂的问题变得较简单． 例2（第10届“五羊杯”初一数学邀请赛试题） 计算：= 解 原式: 例3（第7届“五羊杯”初一数学邀请赛试题） 计算并把结果写成小数：= 解： 原式= = = 104÷（99+1）=1.04 . 评注 直接计算比较繁，这里是采用逆用分配律并从整体考虑的方法使计算变得简单。 例4 （2008年第6届“创新杯”数学邀请赛试题） ____ 解 设a, = b 原式= = b－a = 评注 解答此题使用的是换元法：将题中某些相同的式子用字母表示，从整体考虑，从而可以减少计算过程的书写量。 例5 （2006年第一届“南方杯”数学邀请赛试题）有理数的值等于 。 解 原式 = 2006×+ = 2005 + = 2005 + = 2005 + = 2005 +2 =2007 例6 （2005年第20届“迎春杯”数学竞赛试题） 计算：的值为多少？ 解： 原式 = 评注 本例使用的方法叫做拆项法的，其目的是使加数中出现一些互为相反数的项，这样便可以相互抵消，这种方法在有理数巧算中是一种很常用的方法． 例7（1994年缙云杯初中数学竞赛试题） 计算2-22-23-24-…-218-219+220= . 解法1 原式=220-219-218-…-24-23-22+2 =219(2-1) -218-…-24-23-22+2 =219 -218-…-24-23-22+2 = 218-…-24-23-22+2 = …… = 23-22+2 = 22+2 = 6 解法2 设 S = 22+23+24+…+218+219 （1） 则 2S = 23+24+…+218+219+220 （2） （2）-（1），得：S=220 – 22 2-22-23-24-…-218-219+220=2-S+220=2-220 + 22+220=6 评注 解法2常被称为“错位相减法”，是处理此类问题的常见方法。 例8（1994年“希望杯”数学邀请赛试题） 电子跳蚤落在数轴上的某点k0,第一步从k0向左跳1个单位到k1,第二步由k1向右跳2个单位到k2,第三步由k向左跳3个单位到k3,第四步由k3向右跳4个单位到k4,…,按以上规律跳了100步时，电子跳蚤落在数轴上的点k100所表示的数恰是19.94．则电子跳蚤的初始位置k0点所表示的数是 。 解 设k0点表示的有理数为x， 则k1, k2,…, k100,点所表示的有理数分别为x-1，x-1+2,x-1+2-3,…, x-1+2-3+4-…-99+100 由题意得x-1+2-3+4-…-99+100=19.94，解得 x=-30.06 原版赛题传真 同步训练 一 选择题 1．（2001年“希望杯”数学邀请赛试题） 计算得（ ） （A） 2000 （B） 2001 （C） 2002 （D）2003 1．B 原式= == 2001 2．（2001年“五羊杯”数学邀请赛试题） 化简繁分数得（ ） （A）（B）（C）（D