第10章 工程数值计算方法实验指导第10章 工程数值计算方法实验指导.doc

PAGE  PAGE 22 第10章 工程数值计算方法实验指导 10.1 引言 数值计算主要用于解决工程中常见的基本数学问题，研究其相关的数值解法，包含了线性方程组、非线性方程组的解法，矩阵求逆、数值逼近、数值微积分、常微分方程及偏微分方程的数值解法等。数值计算的基本理论和研究方法建立在数学建模的基础上，与计算机科学密切相关。采用计算机解决这些问题的主要步骤是：分析实际问题、建立数学模型、设计算法、编写程序代码并上机实现。 本章精选前面章节中重点内容组成了7个实验项目，要求学生上机实现各个实验项目并编写实验报告。 实验一 线性方程组的直接解——列主元消去法解线性方程组； 实验二 线性方程组的迭代解——雅可比法、高斯—赛德尔迭代法解线性方程组； 实验三 非线性方程的近似解——二分法、牛顿法求非线性方程的根； 实验四 插值问题——拉格朗日插值、牛顿插值； 实验五 曲线拟合问题——最小二乘法； 实验六 数值积分——复化辛甫生公式； 实验七 求解常微分方程的初值问题——改进欧拉方法、四阶龙格库塔方法。  10.2 实验一 线性方程组的直接解 ——列主元消去法解线性方程组 一、实验目的 掌握列主元消去法解线性方程组的理论。 二、实验环境 PC机一台，C语言、MATLAB任选。 三、实验内容 用Gauss列主元消去法求解方程组。 四、实验原理 Gauss列主元消去法 第一步：消元过程 对于,将进行变换为，其中是上三角矩阵。即 (1) 选列主元 选取第列中绝对值最大元素作为主元。 (2) 换行 (3) 归一化 (4) 消元 第二步：回代过程 由解出。 五、实验步骤 1．要求上机实验前先编写出程序代码； 2．编辑录入程序； 3．调试程序并记录调试过程中出现的问题并修改程序； 4．记录运行时输入数据和输出结果； 5．撰写实验报告。 六、思考题 进一步思考全主元消去法的实现步骤。 七、参考代码 #include stdio.h #include math.h #define n 3 main() { int i,j,k; int mi; float mv,tmp; float a[n][n]={{0.01,2,-0.5},{-1,-0.5,2},{5,-4,0.5}}; float b[n]={-5,5,9},x[n]; for(k=0;kn-1;k++) { mi=k; mv=fabs(a[k][k]); for(i=k+1;in;i++) if(fabs(a[i][k])mv) { mi=i; mv=fabs(a[i][k]); } if(mik) { tmp=b[k]; b[k]=b[mi]; b[mi]=tmp; for(j=k;jn;j++) { tmp=a[k][j]; a[k][j]=a[mi][j]; a[mi][j]=tmp; } } for(i=k+1;in;i++) { tmp=a[i][k]/a[k][k]; b[i]=b[i]-b[k]*tmp; for(j=k+1;jn;j++) a[i][j]=a[i][j]-a[k][j]*tmp; } } x[n-1]=b[n-1]/a[n-1][n-1]; for(i=n-2;i=0;i--) { x[i]=b[i]; for(j=i+1;jn;j++) x[i]=x[i]-a[i][j]*x[j]; x[i]=x[i]/a[i][i]; } printf(\nThe result is:); for(i=0;in;i++) printf(\nx%d=%4.2f,i,x[i]); } 程序运行后，输出结果如下 10.3 实验二 线性方程组的迭代解 ——雅可比迭代法、高斯—赛德尔迭代法解线性方程组 一、实验目的 掌握雅可比迭代法和高斯—赛德尔迭代法求解线性方程组的理论。 二、实验环境 PC机一台，C语言、MATLAB任选。 三、实验内容 分别采用雅可比迭代法、高斯—赛德尔迭代法求解线性方程组。 四、实验原理 1．雅可比迭代法 设方程组的系数矩阵的对角线元素，为迭代次数容许的最大值，为容许误差。 (1) 取初始向量，令。 (2) 对，计算 (3) 如果 并且，则输出方程的解，结束；如果，则说明方程组不收敛，输出方程组无解，终止程序；否则，转(2)。 2．高斯-赛德尔迭代法 (1) 判断线性方程组是否主对角占优，即判断是否满足。 (2) 取初始向量，令