第三章 晶格振动与晶体热学性质第三章 晶格振动与晶体热学性质.doc

第三章 晶格振动与晶体热学性质 3.1 一维原子链的晶格振动 3.1.1一维简单晶格 在平衡位置时，两个原子间的互作用势能是U(a),令δ=xn+1-xn,则产生相对位移后，相互作用势能变为U(a+δ)在平衡位置附近用泰勒级数展开，得到： 式中首项为常数，次项为零。当δ很小，即振动很微弱时，势能展开式中可只保留到δ2项，则恢复力为 这叫做简谐近似，上式中的β称为恢复力常数， 如果只考虑相邻原子的互作用，则第n个原子的运动方程可写成 对于每一个原子，都有一个类似的运动方程，因此方程的数目和原子数相同。 设方程组的解为式中qna表示第n原子振动的位相因子，如果第n’个和第n个原子的位相因子之差(qn’a-qna)为2π的整数倍时， 由此可见晶格中各原子的振动间存在固定的位相关系，也即在晶格中存在着角频率为ω的平面波，这种波称为格波(如图所示)。 将格波方程代入运动方程组可得， 亦即 该式代表一维简单晶格中格波的色散关系，图为ω~q关系，即是一维简单晶格的振动频谱，其中取qa介于(-π，π)之间。 3.1.2 一维复式格子 考虑由两种不同原子构成的一维复式格子，相邻同种原子的距离为2a(复式格子的晶格常数)，原子质量分别为 M 和 m (M ＞ m)。类似一维简单格子，可得： 该方程组的解也可以是角频率为ω的简谐振动： 把解代入运动方程，得 上式可改写为 若A、B有异于零的解，则其系数行列式必须等于零，即 由此可以解得 由上式可见，ω与q之间存在着两种不同的色散关系，即对一维复式格子，可以存在两种独立的格波，这两种不同的格波各有自己的色散关系。 为了保证xn的单值性，把q值限制在，则2qa介于(-π，π)，所以ω1的最大值为 而ω2的最小值为 因为(M ＞ m)，从而ω2的最小值比ω1的最大值还要大。换句话说，ω1支的格波频率总比ω2支的频率低，实际上，ω2支的格波可以用光来激发，所以常称为光频支格波，简称光学波，而ω1支的格波则称为声频支格波，简称为声学波。 3.1.3 声学波和光学波 经过讨论简化，近似可以得到： 综合以上结果，可得： 声学波的频率ω1最大值为，最小值为0； 光学波的频率ω2最大值为，最小值为。其色散关系如图 再看相邻两种原子振幅之比， (1)对于声学波，也就是说，相邻两种不同原子的振幅都有相同的正号或负号，即对于声学波，相邻原子都是沿着同一方向振动，当波长很长时，声学波实际上代表原胞质心的振动。 (2)对于光学波，也就是说，相邻两种不同原子的振动方向是相反的，对于长光学波，原胞的质心保持不动。光学波是代表原胞中两个原子的相对振动。 声学波 光学波 3.1.4 周期性边界条件(玻恩-卡门边界条件) 设想在一长为 Na 的有限晶体边界之外，仍然有无穷多个相同的晶体，并且各块晶体内相对应的原子的运动情况一样，即第j个原子和第 tN+j 个原子的运动情况一样，其中 t = 1,2,3,…。 对于晶格，可以有这样的结论： 晶格振动波矢的数目=晶体原胞数 晶格振动频率的数目=晶体的自由度数 一维有限布喇菲格子(含 N 个原胞，每个原胞一个原子) 一维有限复式格子(含 N 个原胞，每个原胞有两个不同原子) 3.2 晶格振动的量子化 声子 理论考虑：(1)晶体中原子的集体振动-----格波，可展开成简谐平面波的线性迭加。(2)对微弱振动(简谐近似)，每个格波就是一个简谐波，格波之间的相互作用可忽略，形成独立格波模式。(3)在玻恩-卡门周期性边界条件下，得到分立的独立格波模式，可用独立简谐振子来表述。 晶格振动中的简谐振子的能量量子---声子。 数学处理：晶格振动总能量(哈密顿量)=动能 + 势能(化成)=独立简谐振子能量之和 3.3 长波近似 在§2.8 中,晶体被看作连续介质,从经典力学的角度推出了晶格振动的弹性波方程。在§3.1 中,我们从晶体中每个原子在其平衡位置附近振动的观点(不再是连续介质),推出晶格振动的声学波和光学波。 本节讨论 q → 0、λ→∞，即长声学波和长光学波的情况，并和连续介质结果作比较。 3.3.1长声学波 当波长很长，即q很小时，长声学波的角频率ω1与波矢q的关系可以简化成： 而长声学波的波速νp可表示成： 式中是晶体的恢复力常数。由此可以得到，长声学波的角频率与波矢存在线性关系，它的波速为一常数。长声学波的这些特性与晶体中的弹性波完全一致，因此晶格可以近似地看成连续介质，而长声学波也就可以近似地被认为是弹性波。 原子振动观点： 声学波 连续介质观点： 弹性波 结论：对于长声学波，晶格可以看作连续介质，即长声学波和弹性波完全一样。 3.3.2 长光学波 对