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第四章　平面向量、数系的扩充与复数的引入 第一节　平面向量的概念及其线性运算;【知识梳理】 1.向量的有关概念 (1)向量的定义:既有_____,又有_____的量叫向量,常 用a或 表示. (2)向量的模:向量的大小,即表示向量的有向线段的 _____叫做向量的模,记作|a|或| |.;(3)几个特殊向量;2.向量的加法、减法与数乘;;;3.共线向量定理 向量a(a≠0)与b共线,当且仅当有唯一一个实数λ,使 ______.;【特别提醒】 1.三个常用的结论 (1)零向量与任何向量共线. (2)平行向量与起点无关. (3)若存在非零实数λ,使得 或 或 ,则A,B,C三点共线.;2.两个注意点 (1)作两个向量的差时,要注意向量的方向是指向被减向量的终点. (2)在向量共线的重要条件中易忽视“a≠0”,否则λ可能不存在,也可能有无数个.;【小题快练】 链接教材 练一练 1.(必修4P78习题2.1A组T5改编)已知△ABC,设D是BC边 的中点,用 与 表示向量 ,则 =　　　　.;【解析】如图, = 答案:;2.(必修4P92习题2.2B组T5改编)在平行四边形ABCD中,若| |=| |,则四边形ABCD的形状为 　　　　.;【解析】如图,因为 所以| |=| |. 由对角线长相等的平行四边形是矩形可知, 四边形ABCD是矩形. 答案:矩形;感悟考题 试一试 3.(2016·潍坊模拟)设P是△ABC所在平面内的一点, 则　(　　);【解析】选B.如图,根据向量加法的几何 意义, ?P是AC的中点,故;4.(2016·德州模拟)如图,AB是☉O的直 径,点C,D是半圆弧AB上的两个三等分点, 则 =　(　　);【解析】选A.连接CD,OD, 因为点C,D是半圆弧AB上的两个三等分点, 所以 ,可得CD∥AB,∠CAD=∠DAB= ×90°=30°, 因为OA=OD, 所以∠ADO=∠DAO=30°, 由此可得∠CAD=∠ADO=30°,所以AC∥DO.;所以四边形ACDO为平行四边形, 所以;5.(2016·日照模拟)如图,在△ABC中,点O是BC的中点. 过点O的直线分别交直线AB,AC于不同的两点M,N,若 则m+n的值为　　　.;【解析】连接AO,则 因为M,O,N三点共线,所以 所以m+n=2. 答案:2;考向一　平面向量的概念 【典例1】(1)设a,b都是非零向量,下列四个条件中,使 成立的充分条件是　(　　) A.|a|=|b|且a∥b B.a=-b C.a∥b D.a=2b;(2)已知下列结论: ①若a∥b,b∥c,则a∥c; ②非零向量a与b同向是a=b的必要不充分条件; ③四边形ABCD是平行四边形的充要条件是 ④λ,μ为实数,若λa=μb,则a与b共线. 其中正确的序号为　　　.;【解题导引】(1)利用单位向量与向量相等的概念求解. (2)利用共线向量定理及向量相等的概念逐一判断. 【规范解答】(1)选D.由 表示与a同向的单位向量, 表示与b同向的单位向量,故只要a与b同向即可,观察可知D满足题意.;(2)对于①,当b=0时,条件满足但结论不成立; 对于②,因为向量a与b都是非零向量,所以该命题是正确的; 对于③,四边形是大前提,当 时,即AB∥DC,且AB=DC,所以四边形ABCD是平行四边形,反之,若四边形ABCD是平行四边形,则 ,所以③正确;;对于④,当λ=μ=0时,a与b可为任意向量,不一定共线,所以④不正确. 答案:②③;【母题变式】1.本例(2)①中,若b≠0,该结论是否正确? 【解析】若b≠0,又a∥b,b∥c, 所以a∥c显然成立,故该结论正确.;2.若本例(2)④中的实数λ,μ满足λ2+μ2≠0,该结论是否正确? 【解析】由λ2+μ2≠0知实数λ,μ中至少有一个不为0. (ⅰ)若λ≠0,μ=0,则λa=0·b=0. 因为λ≠0,所以a=0, 又0与任何向量共线,所以结论正确. (ⅱ)同理,若λ=0,μ≠0,结论也正确;;(ⅲ)若λ≠0,μ≠0,由λa=μb得a= b,由共线向量定理知结论正确. 综上所述,该结论正确.;【易错警示】解答本例题(1)有两点容易出错. (1)不清楚 表示何种向量,不知道 是a方向上的单位向量. (2)求解时易忽视两向量是同向还是反向,是共线还是相等.;【规律方法】把握向量有关概念的关键点 (1)定义:方向和长度. (2)非零共线向