matlab_最小二乘法数据拟合选编.docx

定义： 最小二乘法（又称最小平方法）是一种数学优化技术。它通过最 小化误差的平方和寻找数据的最佳函数匹配。利用最小二乘法可 以简便地求得未知的数据，并使得这些求得的数据与实际数据之 间误差的平方和为最小。最小二乘法还可用于 HYPERLINK /view/325179.htm \t _blank 曲线拟合。其他一 些优化问题也可通过最小化能量或最大化熵用最小二乘法来表 达。 最小二乘法原理： ????在我们研究两个变量（x,y）之间的相互关系时，通常可以得到一系列成对的数据（x1,y1.x2,y2... xm,ym）；将这些数据描绘在x -y直角坐标系中，若发现这些点在一条直线附近，可以令这条 HYPERLINK /view/1466325.htm \t _blank 直线方程如（式1-1）。 　　Yj= a0 + a1 X （式1-1) 　　其中：a0、a1 是任意实数 1.多项式曲线拟合:polyfit ??1.1常见拟合曲线： ? ??????直线：????y=a0X+a1???????多项式： ???????????????一般次数不易过高2 3???????????双曲线：??y=a0/x+a1 ???????指数曲线：?y=a*e^b????1.2 matlab中函数 ????????????P=polyfit(x,y,n) ?????[P S mu]=polyfit(x,y,n) ???????polyval（P，t）：返回n次多项式在t处的值 ??注：其中x y已知数据点向量分别表示横纵坐标，n为拟合多项 ?????式的次数，结果返回：P-返回n次拟合多项式系数从高到低 ?????依次存放于向量P中，S-包含三个值其中normr是残差平方 ?????和，?mu-包含两个值 mean（x）均值，std（x）标准差。 1.3举例 ?1. 已知观测数据为： ?X：0 ???1????2 ???3????4????5 ???6 ???7 ???8????9???1 ?Y：-0.447??1.987??3.28???6.16?????7.08???7.34???7.66???9.56???9.48????9.3??11.2 ?用三次多项式曲线拟合这些数据点： x=0:0.1:1????y=[-?? 0.447,1.978,3.28,6.16,7.08,7.34,7.66,9.56,9.48,9.3,11. 2]???plot(x,y,k.,markersize,25) ?hold on???axis([0 1.3 -2 16])???p3=polyfit(x,y,3) ?t=0:0.1:1.2: ?S3=polyval(P3,t); ?plot(t,S3,r); ?????????2.拟合为指数曲线 ?????? ??注：在对已测数据不太明确满足什么关系时，需要假设为多种曲 ??线拟合然后比较各自的residal（均方误差）越小者为优， ??多项式拟合不是拟合次数越高越好，而是残差越小越好。??2.非线性曲线拟合：lsqcurvefit X=lsqcurvefit(fun,X0,xdata,ydata) [X,resnorm]=lsqcurvefit(fun,X0,xdata,ydata) 注：其中xdata ydata为给定数据横纵坐标，按照函数文件fun ????给定的函数以X0为初值做最小乘二拟合，返回函数fun中的 ????系数向量X和残差的平方和resnorm。 2.1例如 ?已知观测数据：???求三个参数a b c的值是的曲线f(x)=a*e^x+b*X^2+c*X^ 已知数据点在最小二乘意义上充分接近 ? 首先编写拟合函数文件fun function f=fun(X,xdata) f=X(1)*exp(xdata)+X(2)*xdata.^2+X(3)*xdata.^3 保存文件fun.m ? 编写函数调用拟合函数文件 xdata=0:0.1:1; ydata=[3.1 3.27 3.81 4.5 5.18 6 ....13.17]; X0=[0 0 0]; [X,resnorm]=lsqcurvefit(@fun,X0,xdata,ydata) 运行显示： X= ???3.0022 ?4.0304??0.9404 resnorm= ???0.0912 ? 综上：最小乘二意义上的最佳拟合函数为 ??f(x)=3.0022x+4.0304x^2+0.9404x^3 残差平方和：0.0912 ? ???????注：在针对只有一些已测数据而不太清楚最小乘二拟合函数时， ???采取先打印出已知数据的散点图，然后观察散点图大概分布 ???趋向，再确定拟合函数，也可以确定多个