NA004b数值求积选编.ppt

§3 复化求积 /* Composite Quadrature */ Haven’t we had enough formulae? What’s up now? Oh come on, you don’t seriously consider h=(ba)/2 acceptable, do you? Why can’t you simply refine the partition if you have to be so picky? Don’t you forget the oscillatory nature of high- degree polynomials! Uh-oh 高次插值有Runge 现象，故采用分段低次插值  分段低次合成的 Newton-Cotes 复化求积公式。  复化梯形公式： = Tn §3 Composite Quadrature  复化 Simpson 公式： = Sn §3 Composite Quadrature §3 Composite Quadrature 用复化梯形公式求积时，有 §3 Composite Quadrature  收敛速度与误差估计： 解： = 3.138988494 = 3.141592502 §3 Composite Quadrature Q: 给定精度 ，如何取 n ? ? 即：取 n = 409 通常采取将区间不断对分的方法，即取 n = 2k 上例中2k  409  k = 9 时，T512 = 3S4 = 3.141592502 可用来判断计算 是否停止。 §3 Composite Quadrature 类似推导，还可得下列结论： §3 Composite Quadrature §4龙贝格（Romberg）算法 利用公式在电子计算机上求积分的计算步骤如下： §4 Romberg Integration §4 Romberg Integration 计算了129个点上的值 已知对于 = 0.5×106 须将区间对分7 次，得到 T128 = 0.9460827 = 0.9460833 = S4 一般有： Romberg 序列 梯形法计算简单但收敛慢，如何提高收敛速度是本节 讨论的中心问题。 §4 Romberg Integration §4 Romberg Integration  理查德森外推法 /* Richardson’s extrapolation */ 设对于某一 h  0，有公式 T0(h) 近似计算某一未知值 I。由Taylor展开得到： T0(h)  I = 1 h + 2 h2 + 3 h3 + … i 与 h 无关 Q：如何将公式精度由 O(h) 提高到 O(h2) ？ 再做变换，得 §4 Romberg Integration 若令 §4 Romberg Integration 上述处理方法通常称为理查森（Richardson）外推加速算法。 此公式也被称为龙贝格求积算法。 §4 Romberg Integration 在计算机上实现所谓龙贝格算法，就是二分过程中逐步形成T数表的具体方法，其步骤如下： （3）求加速值，按公式 §4 Romberg Integration  Romberg 算法：  ?  ?  ? … … … … … … §4 Romberg Integration HW: p.122 #8 §5 高斯型积分 /* Gaussian Quadrature */ 代数精度为1。 它至少有3次代数精确度，而以两个端点为节点的梯形 公式却只有1次代数精度。 解：设公式对f (x) = 1, x, x2, x3 ，准确成立，则有： 不是线性方程组，不易求解。 §5 Gaussian Quadrature §5 Gaussian Quadrature §5 Gaussian Quadrature 证明： “” 对任意次数不大于n 的多项式 Pm(x)， Pm(x) (x)的次数不大于2n+1，则代入公式应精确成立： = 0   求 Gauss 点  求(x)  正交多项式族{ 0, 1, …, n, … }有性质：任意次数不大于n 的多项式 P(x) 必与n+1 正交。   §5 Gaussian Quadrature Step 2：求2 = 0 的 2 个根，即为 Gauss 点 x0 ，x1 Step 3：代入 f (x) = 1, x 以