夹角与距离讲解.doc

PAGE  PAGE 8 成都市高二数学下（B） 新教材培训资料 2004年2月16日 夹 角 与 距 离 成都石室中学 蒋富扬 高二数学新教材下册的立体几何一章，在成都地区，这两年我们都选择B版本教材，但直到现在还有关于选择A、B版本教材的诸多争议，长期以来我们熟悉的有严密逻辑推理、空间想象能力的传统教材A版本还牢牢地占据我们的头脑，但是，数学作为应用广泛的基础学科，这种要求有较强逻辑思维能力、较高想象能力的传统欧氏几何内容已不能适应现代中学数学课堂学生的需要、不能适应现代社会发展的需要、不能顺应现代数学蓬勃发展的潮流，高中数学增设“向量”是教育整体改革的一部分。(可以坚持传统内容，这也是两种版本的原因，但不能也不应否认、抵制向量的渗入与教学) 数学是人文的科学，是大众的数学，正是因为在全面实施提高国民素质的教育中数学的决定性作用，那种少数人的数学（教材）已经不能适应中学数学（全民性的）教育。选用B版本教材中立体几何空间向量的学习，是因为：向量作为工具，使用十分广泛，能促使学科之间（如物理学）的相互渗透，以有利于综合能力的培养；现代数学的许多分支的奠基与向量密切相关，而且向量在科学技术方面的应用也十分活跃；从数学本身的发展上，向量使几何代数化是几何学的根本出路，这是当前世界各国基础数学教育的趋势和特点。高中阶段学会用向量处理数学及其他学科的有关问题，无疑有利于学生的进一步深造和直接参与实际工作。利用空间向量可以将空间结构中许多问题代数化处理，——尤其是对空间角和距离的量化具有简化功能，可避免添加繁琐的辅助线，下面就向量在解决空间角与距离的广泛应用极其优越性与大家作交流，不当处请批评指正！ 一、地位与作用 立体几何研究的对象是空间图形，通过这部分知识的学习，来培养学生空间观察和公理化体系处理数学问题的思想方法，这也是学生进入高校学习时所必须具备的重要数学基础，因此历年高考立体几何试题突出空间图形的特点，侧重于对直线与直线、直线与平面、平面与平面的各种位置关系的考查。而近几年高考???则更科学、更灵活地体现了这些，并有与其他章节综合的态势。 其中，依据定义、定理，对几何中各元素间的关系或几何体的某些特性的存在与否进行判定与论证是高考的重要内容之一，常以判断正误的形式出现在选择题或填空题中；另外，考查空间线线、线面、面面平行与垂直以及它们间所成的角与距离是高考中更为突出、更为重要的内容，既可以在选择、填空题中出现，又综合地体现在解答题中；立体几何的学科特点决定了立几综合问题的基本模式是论证与计算，尤其是空间夹角与距离的量化是空间图形位置的极至与精髓，当然也还可能出现开放性、探索性问题。近几年中，立几部分在高考中的分值都在20分以上，2003年为26分，往往是3——4个选填题和1个解答题，涉及夹角与距离的占50%到80%，可见其极其重要的地位和作用。 二、考纲要求 2003年数学高考考试说明（新课程版）对这部分的考试要求是：（九 B）理解直线的方向向量、平面的法向量、向量在平面内的射影等概念；掌握直线与直线、直线和平面、平面和平面所成的角、距离的概念，对与异面直线的距离，只要求会计算已给出公垂线或在坐标表示下的距离。掌握直线和平面垂直的性质定理；掌握两个平面平行、垂直的判定定理和性质定理。 三、本单元教材分析与教学建议 1、教材内容：本单元主要有两个小节：7.8 直线和平面所成的角与二面角 7.9 距离 2、教学课时安排： 7.8 3 课时 7.9 2 课时 3、教材分析： （1）、新旧教材的对比 ① 新教材在编写体系上与传统教材有明显的不同 传统教材以空间中线与线、线与面、面与面间的位置关系为线索，分别介绍空间中的平行与垂直关系，以及它们之间的夹角与距离，层次和对象鲜明。新教材相对地集中统一介绍空间中的平行与垂直关系（只是平面与平面垂直放到了二面角处介绍），主要以性质为主线编排教材，然后突出介绍空间向量，以及使用向量量化空间各种位置关系 ② 新教材中夹角与距离更突出向量工具的优越性 本单元包括9.7和9.8两个小节，9.7节重点介绍（斜）线与平面所成角和二面角；9.8节重点介绍空间距离；它们的计算除能用传统方法“作——证——指——算”外，更倾向于使用向量这一工具求解，避免繁杂的辅助线的添加、严密的逻辑推理、较高的空间想象，从而降低立体几何难度。 ③ 新教材中的两个公式强弱处理 新教材中关于斜线与平面夹角表述时，在正文中突出最小角定理“” 及用意，而传统教材中此公式只在总复习参考题中以习题形式出现；传统教材中黑体字出现的异面直线上两点