第三章 晶格振动与晶体热学性质1.doc

第三章晶体热振动与晶体的热学性质 3.1 一维单原子链 ??3.1.1一维原子间相互作用势 ??　图 3-1-1 一维单原子晶格 ?? 考虑由 N 个相同的原子组成的一维晶格，如图 3-1-1 所示，相邻原子间的平衡距离为 a ，第 j 原子的平衡位置用x0j 来表示，它偏离平衡位置的位移用 u j 来表示，第 j 原子的瞬时位置就可以表示为： ??? ??????????(3-1-1) 原子间的相互作用势能设为 ，如果只考虑晶体中原子间的二体相互作用，则晶体总的相互作用能可表示为： ???????? ??? ?? ?(3-1-2) ????式中 是 i 、 j 原子的相对距离， 是 i ， j 两原子的相对位移，在温度不太高时，原子在平衡位置附近作微振动，相邻原子的相对位移要比其平衡距离小得多，可将 展开为： ????(3-1-3) 于是有： ???? ???????(3-1-4) 式中第一项是所有原子处于平衡位置上时的总相??作用能，用 U 0 来表示，是 U 的极小值， ?????????????????(3-1-5) 第二项是 的线性项，它的系数为： ，是所有其它原子作用在 i 原子的合力的负值，当所有原子处在 平衡位置上时，晶体中任一原子所受到的净作用力应为零，所以在式（ 3-1-4 ）中不存在位移的线性项。因此， ???????????????(3-1-6) 式中： ?????????????????(3-1-7) 称为力常数 。. 3.1.2 简谐近似下运动方程 ?? 若在 U 的展开式中，忽略 u 的高次项而仅保留到 u 的平方项，即有 ???????????????? ?????(3-1-8) ??? 这种近似称为简谐近似。由此可以得出第 n 原子的运动方程式为： ?? ??????(3-1-9) ??? 式中 m 为原子的质量，如果只考虑最近邻的相互作用，在上式中只保留 i=n+ 1 和 i = n -1 两项，且令 ，则可得到形式上很简单的运动方程式： ?????? ?????????(3-1-10) ?3.1.3 周期性边界条件 ??? 对于无限大的晶体，每个原子都有形如式（ 3-1-10 ）的运动方程，但实际上晶体是有限大的，处在表面上（对一维晶格来说是两端上）的原子所受到的作用与内部原子不同，其运动方程式应有不同，使问题变复杂。为解决这一问题，需要引入边界条件，常用的边界条件是所谓的周期性边界条件，是玻恩 - 卡曼提出的，又称为玻恩 - 卡曼边界条件。 ????设想在有限晶体之外还有无穷多个完全相同的晶体，互相平行堆积充满整个空间，在各相同的晶体块内的原子的运动情况应当是相同的，对于一维晶格，这个条件表示为： ???? ????????????(3-1-11) ??? 这相当于一维原子链首尾相接形成一个环状晶格 ( 如图 3-1-2 所示 ) ，这时每个原子都是等价的，都满足形式相同的运动方程。这样做虽然没有考虑表面原子的特殊性，但由于实际晶体中原子数目 N 很大，表面原子数目所占比例很小，不会对晶体的整体性质产生明显地影响。 图 3-1-2 玻恩 - 卡曼边界条件  3.1.4 格波 ??? 运动方程式（ 3-1-10 ）是很容易还应解的。 ??? 设试探解为 ????????????(3-1-12) ??? 式中A为振幅，ω为圆频率，q为波矢，与波长λ的关系为：q=2π/λ ,naq为第 n 个原子振动的位相，将（3-1-12 ）代入（ 3-1-10 ），容易求得 ω 与 q 的关系为： ??? ??????????????? ?(3-1-13) 对于这个结果，作以下分析说明： （1）由式（ 3-1-12 ）不难看出，当 na-ma=l λ ，即第 n 和第m 个原子的位移相等，所以式（ 3-1-12 ）所描述的原子围绕平衡位置的振动是以行波的形式在晶体中传播的，是晶体中原子的一种集体运动形式，这种行波称为格波。 （2）格波的频率与波矢的关系式（3-1-13）称为色散关系，如图3-1-3所示。ω 是 q 的周期函数，周期性为 2 π /a，因此可以把 q 限制在 的范围内，这恰好是第一布里渊区的范围，其他区域的情况只需把 q 平移某个倒格矢 G =2 π l/a （l 为整数）而得到。 图3-1-3一维单原子晶格振动的色散关系（3）由色散关系可得到格波的相速度和群速度为：??相速度： ?群速度： (3-1-14) ??? 由此可以看到，由于原子的不连续性，格波的相速度不再是常数。但当 q → 0 时，