第三章-量子力学中的力学量 lt.doc

第三章例题剖析 1 一刚性转子转动惯量为I，它的能量的经典表示式是，为角动量，求与此对应的量子体系在下列情况下的定态能量及波函数。 （1）转子绕一固定轴转动 （2）转子绕一固定点转动 [解]：（1） 能量的本征方程： ，or 引入 由波函数的单值性 ， 其中 （2） ，在球极坐标系中 体系的能量算符本征方程： 其中，以上方程在的区域内存在有限解的条件是必须取，，即 于是方程的形式又可写成 此方程是球面方程，其解为 由及，可解得体系的的能量本征值 2 氢原子处于 状态，求： （1）归一化波函数 （2）能量有无确定值？如果没有，求其可能值和取这些可能值的概率，并求平均值； （3）角动量平方有无确定值？如果没有，求其可能值和取这些可能值的概率，并求平均值； （4）角动量的z分量有无确定值？如果有，求其确定值。 解：（1）求归一化波函数 （2） 能量无确定值 可能取值： 概率： 平均值： （3）角动量平方无确定值 可能取值： 概率： 平均值： （4）有确定值。其值为。 3．求粒子处在态时角动量的分量和角动量分量的平均值；并证明： [解] (方法一)： （1）先证明两个普遍的关系： 可以用两种方法来证明。 （a）从角动量算符所满足的对易关系出发： 或 由一式与二式乘i后相加减可得： 或 用算符对运算得： 另外，注意到和均可对易，故有： 所以 从上面二式可见既是的本征函数，本征值为，又是的本征函数，本征值为，亦即，具有的形式。 令 它的共轭复式是 二式相乘，对积分，再注意到的正交性，得： （b）用直接求微分的方法证明 而 ； 其中 故 同样，对也有 其中 可证明如下： 因为勒襄德多项式满足方程 对上式求微商次后得到 或 故有 （2）现在来求和 注意到的正交性，亦即 令 同理可知 故 （3） 注意到的正交性，得： 同理可证： 故 (方法二)：在固定z轴不变的情况下，进行坐标旋转，把原来的y轴变为x轴，仍然保持右旋坐标，这时角不变，唯一的改变是变为，注意到和的对称性，不难由在球坐标中的算符表示式看出 而 讨论：①为了证明，我们还可以用下面两种简单方法： （a）设为的本征态，则有 而 故 同理，因为，可以证明 （b）利用测不准来证明 令 则显然都是厄密算符，的对易关系为： 就是角动量分量之间所必须满足的对易关系 利用得出 由于态是的本征态，在本征态中测量力学量有确定值，即力学量在态在平均平方偏差必须为零。故有 要保证不等式成立，考虑到为非负的数，所以必须是。 同理，只须利用，也可以证明 ②在(方法二)中，不从物理上考虑，直接从对易关系出发，也很容易证明 注意到 即 左乘 得： 利用 右乘得： 比较 和可见，。 再利用，按照方法二的讨论，很容易证明。