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第三章-量子力学中的力学量lt第三章-量子力学中的力学量lt
第三章例题剖析
1 一刚性转子转动惯量为I,它的能量的经典表示式是,为角动量,求与此对应的量子体系在下列情况下的定态能量及波函数。
(1)转子绕一固定轴转动
(2)转子绕一固定点转动
[解]:(1)
能量的本征方程: ,or
引入
由波函数的单值性
,
其中
(2) ,在球极坐标系中
体系的能量算符本征方程:
其中,以上方程在的区域内存在有限解的条件是必须取,,即
于是方程的形式又可写成
此方程是球面方程,其解为
由及,可解得体系的的能量本征值
2 氢原子处于
状态,求:
(1)归一化波函数
(2)能量有无确定值?如果没有,求其可能值和取这些可能值的概率,并求平均值;
(3)角动量平方有无确定值?如果没有,求其可能值和取这些可能值的概率,并求平均值;
(4)角动量的z分量有无确定值?如果有,求其确定值。
解:(1)求归一化波函数
(2) 能量无确定值
可能取值:
概率:
平均值:
(3)角动量平方无确定值
可能取值:
概率:
平均值:
(4)有确定值。其值为。
3.求粒子处在态时角动量的分量和角动量分量的平均值;并证明:
[解] (方法一):
(1)先证明两个普遍的关系:
可以用两种方法来证明。
(a)从角动量算符所满足的对易关系出发:
或
由一式与二式乘i后相加减可得:
或
用算符对运算得:
另外,注意到和均可对易,故有:
所以
从上面二式可见既是的本征函数,本征值为,又是的本征函数,本征值为,亦即,具有的形式。
令
它的共轭复式是
二式相乘,对积分,再注意到的正交性,得:
(b)用直接求微分的方法证明
而 ;
其中
故
同样,对也有
其中
可证明如下:
因为勒襄德多项式满足方程
对上式求微商次后得到
或
故有
(2)现在来求和
注意到的正交性,亦即
令
同理可知
故
(3)
注意到的正交性,得:
同理可证:
故
(方法二):在固定z轴不变的情况下,进行坐标旋转,把原来的y轴变为x轴,仍然保持右旋坐标,这时角不变,唯一的改变是变为,注意到和的对称性,不难由在球坐标中的算符表示式看出
而
讨论:①为了证明,我们还可以用下面两种简单方法:
(a)设为的本征态,则有
而
故
同理,因为,可以证明
(b)利用测不准来证明
令
则显然都是厄密算符,的对易关系为:
就是角动量分量之间所必须满足的对易关系
利用得出
由于态是的本征态,在本征态中测量力学量有确定值,即力学量在态在平均平方偏差必须为零。故有
要保证不等式成立,考虑到为非负的数,所以必须是。
同理,只须利用,也可以证明
②在(方法二)中,不从物理上考虑,直接从对易关系出发,也很容易证明
注意到
即
左乘 得:
利用
右乘得:
比较 和可见,。
再利用,按照方法二的讨论,很容易证明。
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