第二章 图象变换.doc

变换部分文字 pp概述 原则上，所有图象处理都是图像的变换，而本章所谓的图象变换特指数字图象经过某种数学工具的处理，把原先二维空间域中的数据，变换到另外一个“变换域”形式描述的过程。例如，傅立叶变换将时域或空域信号变换成频域的能量分布描述。 任何图象信号处理都不同程度改变图象信号的频率成分的分布，因此，对信号的频域（变换域）分析和处理是重要的技术手段，而且，有一些在空间域不容易实现的操作，可以在频域（变换域）中简单、方便地完成。 Pp 如上所述，图象变换是将维空间图象数据变换成另外一组基向量空间（通常是正交向量空间）的坐标参数，我们希望这些离散图象信号坐标参数更集中地代表了图象中的有效信息，或者是更便于达到某种处理目的。下图描述了数字图象处理中空域处理与变换域处理的关系。 pp 图象变换的实质就是将图象从一个空间变换到???一个空间，各种变换的不同之处关键在于变换的基向量不同。以下给出几种不同变换基向量的变换示例。 例如，由直角坐标系变化到极坐标系，见下图 pp 同样，一幅彩色图象可以按照某种准则，分解成若干个基本色彩分量图象的和。 傅立叶变换可以将一维信号从时间域变换到频率域，例如下图，一个正弦信号经过傅立叶变换后，得到它的频率分布零频（直流分量）和基频。 一维傅立叶变换的定义： 一维傅立叶反变换定义： F(u)包含了正弦和余弦项的无限项的和，u称为频率变量，它的每一个值确定了所对应的正弦-余弦对的频率。 根据尤拉公式 傅立叶变换系数可以写成如下式的复数和极坐标形式: 其中： 傅立叶谱（幅值函数）为 相角为 能量谱为 pp 连续二维函数的傅立叶变换对定义 二维函数的傅立叶正变换 二维函数的傅立叶逆变换 二维函数的傅立叶谱 二维函数的傅立叶变换的相角 二维函数的傅立叶变换的能量谱 pp 2离散傅立叶变换 由于实际问题的时间或空间函数的区间是有限的，或者是频谱有截止频率。至少在横坐标超过一定范围时，函数值已趋于而可以略去不计。将和的有效宽度同样等分为个小间隔，对连续傅立叶变换进行近似的数值计算，得到离散的傅立叶变换定义。 其中，一维离散傅立叶正变换 一维离散傅立叶逆变换 pp 二维离散傅立叶变换：对于图象 对于图象 pp 1.3离散傅立叶变换的性质 性质1：可分离性 二维傅立叶变换可分解成了两个方向的一维变换顺序执行。 pp 性质2：平移性 空间域平移： 频率域平移： pp 当时有： 可以简单的用乘以将的傅立叶变换的原点移动到相应频率方阵的中心。 （图） pp 性质3：周期性及共轭对称性 离散的傅立叶变换和它的反变换具有周期为的周期性： 傅立叶变换也存在共轭对称性： pp 性质4：旋转性质 平面直角坐标改写成极坐标形式： 做代换有： 如果被旋转则被旋转同一角度。即有傅立叶变换对： pp （图） 性质5：线性性质 如果： 则有： pp 性质6：与图象均值的关系 二维图象灰度均值定义： 而傅立叶变换变换域原点的频谱分量： 所以有： 即数值倍于图象灰度均值。 Pp 性质7：图象拉普拉斯算子处理后的傅立叶变换 图象拉普拉斯算子处理的定义： 则图象拉普拉斯算子处理后的傅立叶变换对为： pp 性质8：卷积与相关定理 卷积定理 一维序列的卷积运算定义为： 当 则有 注意在用傅立叶变换计算卷积时， 由于函数被周期化，为了保证卷积结果正确，计算过程中两个序列长度N1，N2都要补零加长为N1+ N2—1。二维图象序列卷积定理的定义和计算过程与一维情况相同。*为卷积符号。 pp 相关定理： 一维、二维两个离散序列的相关可以写作 则有相关定理 pp 4快速傅立叶变换 由一维傅立叶变换入手，换一种表示方法 pp 定义： 则： 因为： pp 傅立叶变换的快速计算示意图： （图） pp 一维傅立叶变换： 其逆变换为：R 则有： 对于二维情况： pp §2离散余弦变换（DCT） 从第一节内容我们可以看到，傅立叶变换是用无穷区间上的复正弦基函数和信号的内积描述信号中总体频率分布，或者是将信号向不同频率变量基函数矢量投影。实际上，基函数可以有其它不同类型，相当于用不同类型基函数去分解信号（图象）。余弦变换是其中常用的一种。 pp 设离散序列，为一离散序列，根据下式延拓成偶对称序列： 其中。是关于为中心的偶对称序列如下图所示。 （图） pp 以代入在范围内作点的傅立叶变换： pp 余弦变换的变换核为： 表示成矩阵形式为：（其中各列模为1） pp 定义偶余弦变换（EDCT）和逆变换为： pp 二维余弦变换： 二维余弦变换具有可分离性： 表示成矩阵形式： pp 余弦变换可以利用傅立叶变换实现： 将延拓为： 则有： 借助傅立叶变换计算余弦变换的步骤： 1)把延拓成，长度为； 2)求的